国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第6届）.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第6届） 1.?? (a)? 求所有正整数 n 使得? 2n - 1 能被 7整除； ?? (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除． 2.? 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证： a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) = 3abc. 3.? 三角形ABC的三边长为别为a、b、c．分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a，b，c表示）． 4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信．在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的． 5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目． 6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作 DD0 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果 D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站