国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第3届）.doc

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第3届） 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a； ? ? x2 + y2 + z2 = b2； ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2 = A. 并求出等号何时成立．　 3.? 解方程 cosnx - sinnx = 1， 其中n是一个自然数． 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD， BP/PE， CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2． 5.? 作三角形ABC使得 AC=b， AB=c，锐角AMB = ?，其中M是线断BC的中点．求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(?/2) = c b. 又问上式何时等号成立． 6.?三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧．在p上任意取三个点A， B， C， A， B， C设分别是边AA， BB， CC的中点，O是三角形ABC的重心．问，当A，B，C变化时，O的轨迹是什么？ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 1 页 搜资源 上网站