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章 节 第七章 离散时间系统的时域分析 1-3节 日期 教学目的 掌握离散信号表示、运算、变换及差分方程描述 教学重点 离散系统的差分方程描述 教学难点 离散系统的差分方程描述 教学方法 讲授 教学内容 第七章 离散时间系统的时域分析 7.1 引言 离散系统的描述方法：差分方程。差分方程与微分方程求解方法在相当大的程度上一一对应。与卷积类似，离散系统中占重要地位的卷积和（简称卷积）。离散系统中的变换域方法包括变换、离散傅里叶变换以及其他多种离散正交变换（如沃尔什变换、离散余弦变换等等）。 与连续时间系统相比较，离散时间系统具有精度高，可靠性好，便于实现大规模集成的优点，借助于软件控制，可编程序控制器得到了广泛应用。 7.2 离散时间信号——序列 在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称为离散信号。这里离散指信号的定义域——时间是离散的，它只是某些规定的值。通常给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的。若此间隔为，以表示此离散时间信号，一般我们直接以表示此序列。表示个函数值在序列中出现的序号。对应某序号的函数值称为在第个样点的“样值”。 7.2.1 离散信号的描述形式 1、解析形式（闭合形式或闭式） 即用一函数式表示。例如： 2、图形形式 即信号的波形。线段的长短代表各序列值的大小。有时可将他们的端点连接起来。但是只有在整数值时才有意义。 7.2.2 序列的基本运算 1、相加（相减） 两序列相加（减）即将两序列的对应样值相加（减）即可。新序列可表示为： 2、相乘（除） 两序列相乘（除）即将两序列的对应样值相乘（除）即可。新序列可表示为： 3、延时（移位） 指原序列逐项依次右移（左移）后给出的新序列： 显然，任何离散信号都可以看成是离散冲激信号的移位加权相加所构成，即： 4、反褶 自变量变为原来的相反数，波形沿纵轴反转： 5、展缩 与连续信号的展缩不同，需按规律去除某些点或补足相应的零值，因此，也称为序列的“重排”。 [例7-1] 已知波形如图7-1所示，求的波形。 解：波形如图7-1(b)所示，这时，对应波形中为奇数的各样值已不存在，波形压缩。而波形如图7-1(c)所示，图中，对应为奇数值各点应补入零值，为偶数值各点取得波形中依次对应的样值，因而波形扩展。 7.2.3 典型序列 （1）单位样值信号（Unit Sample或Unit Impulse） 也称为单位取样、单位函数、单位脉冲、或单位冲激。 与的区别：可理解为在点脉宽趋于零，幅度为无限大的信号；而在零点取有限值1。 （2）单位阶越序列 与连续系统阶越信号的区别： （3）矩形序列 矩形序列取值为1的范围到时，可写作 以上三种序列的关系： （4）斜变序列 （5）指数序列 当时，序列是发散的；时序列收敛；序列都取正值；虚列在正、负摆动。 此外，还有正（余）弦序列、复指数序列等。 7.3 离散时间系统的数学模型 按离散时间系统性能，可以划分为线性、非线性、时不变、时变等各种类型。我们只讨论LTI系统。 与连续时间系统类似，线性离散时间系统应满足均匀性和叠加性；对于时（移）不变离散系统，在同样起始状态之下系统响应与激励施加于系统的时刻无关，即激励位移，响应也延迟。 连续系统：微分方程；导数（积分）、乘系数、相加；R/L/C电路构成网络； 离散系统：差分方程；延时（移位）、乘系数、相加；延时（移位）元件、乘法器、加法器； 单位延迟用来表示。离散时间系统的方框图与连续时间系统类似。 下面以实例说明差分方程的建立。 [例7-2] 一个离散时间系统由延时、相加、乘系数等基本部件组合而成，如图7-2，激励信号为，响应序列为，写出描述系统工作的差分方程。 解： 整理后得到： 上式就是一个常系数线性差分方程（different equation），或称为递归关系式（recurrence relation）。由于此方程中的未知序列仅相差一个位移序数，因此是一阶差分方程。如果给定激励，而且知道响应的边界条件，解此差分方程即可求得响应序列。 差分方程的阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 上式举出的差分方程未知序列序号以递减方式给出，称为后向形式的（或向右移序）差分方程。也可以以递增的形式给出，称为前向形式（或向左移序）差分方程。 [例7-3] 一个离散时间系统如图7-3所示，写出描述系统工作的差分方程。 解：或 上式是一个一阶前向差分方程式。 比较两个图形，这两个系统并无本质区别，仅输出信号的取出端有所不同，如果激励信号相同，则响应后者较前者延时一位。通常，对于因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般的数字滤波器描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，习惯上用前向形式的差分方程。 迭代法求解例7-2差分方程： 若