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第二章 信号与线性时不变系统的时域分析 习题参考答案 2.1求下列函数的卷积积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 解： 2.2已知，，，求，并画出波形。 解： 波形如图： 2.3 与的波形如题图2.3所示，求，并画出波形。 习题2.3图 解： 由图可知 又由公式，，故 波形图为 2.4描述系统的微分方程和初始状态如下： （1） （2） 试求其零输入响应。 解： 已知方程的特征方程为 其特征根为 ，。微分方程的零输入响应的形式为 由于 ，，且激励为零，故有 即 解得 ， 则系统的零输入响应为 ， 已知方程的特征方程为 其特征根为 ，微分方程零输入响应解的形式与齐次解的形式相同，为 由于激励为零，中的系统参数可直接借助时刻的初始状态去求，即 由上式解得 ， 则系统的零输入响应为 ， 2.5已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0+ 初始值。 （1） （2） 解： 当激励为 时，代入微分方程得 方程右端含有冲激项 。依据方程两端奇异函数平衡的原则，分析得知中含有冲激项；是对积分的结果，跳变发生在中，在处连续。因此对上式两端从到积分 得 且有 ， 将，代入上式，得 当激励为 时，代入微分方程得 等号右端含有冲激项，对等号两端从到积分 考虑到在处连续，得 注意到在处连续，跳变发生在中，有 ； 将，代入上式，得 2.6已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求其零输入响应、零状态响应和完全响应。 （1） （2） 解： （1）由零输入响应的性质可知，，则求零输入响应就是求解如下微分方程 写出特征方程 并解出特征根 ，，则零输入响应的一般形式可写为 ， 代入初始条件，得 解以上两式得 ，，则系统的零输入响应为 ， 由零状态响应的性质可知，，则求零状态响应即求解微分方程 零状态响应可以通过卷积求得（必须先求出系统的冲激响应），也可以用经典法求得。下面使用经典的方法求解。为此，先写出对应的特征方程，并求出特征根，得到方程的齐次解为 设特解，将及其一、二阶导数代入原方程解得特解为 则方程的全解为 代入初始值得 解以上两式得 ，则系统的零状态响应为 则系统的全响应为 （2）由零输入响应的性质可知，求零输入响应即求解微分方程 为此先写出特征方程 并解出特征根 ， 则零输入响应为 代入初始值得 解以上两式得 ，则系统的零输入响应为 由零状态响应的性质可知，求零状态响应即求解微分方程 方程右端含有冲激项，对等号两端从到积分 考虑到的连续性及在时含有跳变，得 至此问题化为求解如下齐次方程的问题 ， 求解得到 代入初始值得 解以上两式得 ，，则系统的零状态响应为 系统的全响应为 2.7已知系统的微分方程为当激励时，系统的全响应为 求冲激响应，零状态响应与零输入响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应。 2.8已知系统的微分方程为，，，，。求系统的零输入响应，单位冲激响应，零状态响应，全响应。 解： （1）求零状态响应 由于已知时刻响应初始值，故可先求零状态响应 当激励为 时，代入微分方程得 等号右端含有冲激项 ，对等号两端从到积分 考虑到在处连续，有跳变，得 由于，原式可写为 特解 代入上式得 由于齐次方程特征根为 故系统零状态响应为 代入初始值，得 解得 从而得到系统零状态响应为 （2）求系统零输入响应 由（1）可直接写出系统的零输入响应为 由于 得 ， 代入上式 解得 故系统零输入响应为 （3）完全响应 系统全响应为 ， （4）求冲激响应 先求的冲激响应 根据冲激响应的定义，当时，此系统的零状态响应，满足 列出特征方程，并求解其特征根有，据此可写出 方程等号右端含有冲激项 ，对等号两端从到逐项积分，得 考虑到在处连续，得，且=0，，故 代入方程解得，系统的冲激响应为 对于 根据系统的线性非时变性质，系统对输入的零状态响应为，即是微分方程 在时的零状态解。 则系统的冲激响应为 2.9电路如习题图2.9图所示，已知，，，，若以为输出，求其零状态响应。 习题2.9图 解： 各元件端电流和端电压的关系为 各元件彼此之间的关系为 联立以上各式得 代入数据整理得 由特征方程