信号与系统(第二章线性时不变系统).ppt

这就是卷积运算下的定义。 若 ，则可推出 因此，若有 ,则 ⒌ 根据积分下的定义有： 三. 单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激响应应该是 的微分，记为 ，从卷积运算或LTI系统分析的角度应该有： 称为单位冲激偶（Unit doublet） 微分器 ⒈ 当 时，有： ⒉ 考察 当 时，有 ，此积分可作为 在积分意义下的定义。 由此定义出发可以推出： ⒊ 若 是一个偶函数，则 。由此可推得 是奇函数，即： ⒋ 考察 ⒌ 若 ，进而有： 因此，若有 ，则 按此定义方法推广下去，有： 在积分运算下有： 例如： 四. 的积分 若用 ，则有： 是理想积分器的单位冲激响应。 因此： 称为单位斜坡函数（Unit ramp function ） 用类似方法也可以定义 的积分。 事实上， 的各次积分已经是常规函数了， 当然可以按常规函数定义的方法去描述。 2.6 本章小结（Summary） ⒊ LTI系统的描述方法： ①用 描述系统（也可用 描述）； ②用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统； ⒈ 信号的时域分解: ⒉ LTI系统的时域分析——卷积和与卷积积分 ⒌ 奇异函数 ③ 用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。 系统级联、并联时， 与各子系统的关系。 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系； ⒋ LTI系统的特性与 的关系： 将 微分一次有: 例如：2.2 中的例2 根据微分特性有: * 利用积分特性即可得: 二.LTI系统的性质 1. 记忆性： LTI 系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。 则在任何时刻 ， 都只能和 时刻的输入有关，和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有： 根据 ，如果系统是无记忆的， 即： 所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为： 如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。 2. 可逆性： 如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且 逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。 当 时系统是恒等系统。 此时， 因此有： 例如：延时器是可逆的LTI系统， ，其逆系统是 ，显然有： 累加器是可逆的LTI系统，其 ，其逆系统是 ，显然也有： 3. 因果性： 由 ，当LTI系统是因果系统时，在任何时刻 ，　　都只能取决于 时刻及其以前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，即： 或: 对连续时间系统有: 这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。 但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。 根据稳定性的定义，由 ， 若 有界，则 ;若系统稳定，则要 求 必有界，由 可知，必须有: 对连续时间系统，相应有: 这是LTI系统稳定的充分必要条件。 4. 稳定性： 5. LTI系统的单位阶跃响应： 在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对 或　 所产生的响应。因此有: LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。 2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。 一.线性常系数微分方程 （ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ） 均为常数 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解该微分方程，通常是求出通解 和一个特解 ，则 。特解 是与输入 同类型的函数，通解 是齐