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第6章 数理统计的基本概念
6.1 引 言
概率论：已知随机变量的概率分布，求其它问题； 数理统计：研究随机变量的概率分布．
数理统计学的基本问题：根据试验或观察得到的数据，对研究对象的数量规律性作出种种合理的估计和判断．
由于随机性的影响无处不在，所以数理统计的应用十分广泛，不仅在工农业生产、工程技术、自然科学等领域有着广泛的应用，在医学卫生、社会生活以及经济等领域也有着越来越广泛的应用．数理统计已成为最活跃的数学分支学科之一．
内容十分丰富，分支挺多，应用很广泛．本书介绍参数估计、假设检验、回归分析与方差分析．
本章先介绍总体、随机样本、统计量、抽样分布等基本概念．
6.2 总 体 与 样 本
例子：(1) 考察某厂生产的一批灯泡的寿命X，以了解X是否服从指数分布、分布中的参数、平均寿命及偏差等．
(2) 调查某一地区成年男子的身高H，H是否服从正态分布？
总体：研究对象的某项数量指标的值的全体，X； 个体：构成总体的每个元素，x．
注：总体通常是指某个随机变量（指标）X取值的全体．若研究的指标不止一个（如成年男子的身高与体重），可分为几个总体来研究．若X的分布函数为，就称总体X的分布函数为．
总体X， 为一组样本观察值，由抽样的随机性及独立性，每个可看作某个随机变量的一个观察值． 独立同X分布．可看作 的一个观察值或实现．
简单随机抽样：总体中每个个体被抽到的机会相等，并且在抽取一个个体后总体的成分保持不变．
方法：
定义：设 X的分布函数为， 独立同X分布．则称 为从分布函数（总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本；它们的观察值又称为X的n个独立观察值．
由定义， 的联合分布函数为； 若X具有概率密度函数， 则 的联合概率密度函数．
例1 为了考察的，随机抽取名，测量他们的指标，其数据如下（）：.77, 1.65, 1.62, 1.83, 1.72, 1.68, 1.78, 1.84．
这是一组容量为的样本观察值，其相应的总体为
6.4 统计量与抽样分布
统计量：总体X，样本． 是n元连续函数，若它不含任何未知参数，则称为一个统计量． 若 是 的一组观察值，则 是 的一个观察值．
如：，已知，未知，则 是统计量； 但 不是统计量．
几个常用的统计量：统计量 观察值
样本均值：； ；
样本方差：； ；
样本标准差：； ；
样本k阶(原点)矩：； ；
样本k阶中心矩：． ．
抽样分布：统计量的分布称为抽样分布．
统计量是随机变量，由总体的分布可求得统计量的分布．抽样分布 分布设 ，简单随机样本 ()． 称 为服从自由度为n的分布， 记．
(1) 分布的概率密度：， 由分布的可加性得
，概率密度 ．图形： (2) 分布的可加性： n=1 n=5
设，，且相互独立， n=15
则 ．
(3) 分布的期望与方差： 1 ； ，
而 ，，
故 ．
(4) 分布的分位：
若 ，数值 满足 ， 则称为分布的分位．见图．
当 ，见附表．
当 ，有 Fisher 近似公式：
， (其中为标准正态分布的分位)． x
如：；．t分布设 ，，X与Y相互独立，则称 为服从自由度n的t分布(或学生分布)， 记 ．（19，W. (英) 给出）．其概率密度函数：， ． 图形：
图形关于对称，类似标准正态分布密度函数图形．，
且有 ，即 分布弱收敛于标准正态分布 ()．
分布的分位：
，数值 满足 ．
由对称性，可得：． O t
当 ，见附表3；当 ，有近似公式： (标准正态分布的分位)．
F分布设 ，，且U与V相互独立，则称 为服从自由度的F分布， 记 ．（1920s，G. W. Fisher (英) 给出）． 分布的概率密度： 分布的分位：
， 数值 满足．可查 附表． 如：． x
分布的性质： 若 ，则 ． 故有 ，(自
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