新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第32讲 平面向量的数量积及应用举例(原卷版).doc
第32讲平面向量的数量积及应用举例
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos__θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作eq\o(OM,\s\up6(→))=a,eq\o(ON,\s\up6(→))=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e,a,θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))=|a|cosθe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.
(2)模:|a|=eq\r(a·a)=eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1)).
(3)夹角:cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(x1x2+y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法:当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题;(2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时,可利用坐标法求解.
[典例]
1.(2022·江苏南京·模拟预测)在中,,,,为的重心,在边上,且,则______.
2.(2022·全国·高三专题练习)已知在平行四边形中,,则值为__________.
[举一反三]
1.(2021·山东·高三开学考试)在中,AB=2,BC=3,,P为边AC上的动点,则的取值范围是(???????)
A.[0,3] B.[1,3] C.[6,9] D.[3,9]
2.(2022·北京八中高三阶段练习)在直角三角形中,,则(???????)
A. B.4 C. D.8
3.(2022·江苏南京·高三开学考试)在中,记,则(???????)
A. B. C. D.
4.(2022·北京·高考真题)在中,.P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是(???????)
A. B. C. D.
5.(2023·全国·高三专题练习)若是边长为2的等边三角形,AD为BC边上的中线,M为AD的中点,则的值为___________.
6.(2023·全国·高三专题练习)为等边三角形,且边长为,则与的夹角大小为,若,,则的最小值为___________.
考点2数量积的应用
[名师点睛]
(1)根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,则cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)(夹角公式),a⊥b?a·b=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模:①当向量有坐标或适合建坐标系时,可用模的计算公式;②利用|a|=eq\r(a·a)及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;③几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
[典例]
1.(2022·全国·高考真题)已知向量,若,则(???????)
A. B. C.5 D.6
2.(多选)(2023·全国·高三专题练习)设向量,满足