新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第31讲 平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）.doc
第31讲平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
考点1平面向量基本定理的应用
[名师点睛]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
[典例]
【例1-1】(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()
A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B.eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)b
C.－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D.－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，则t的值为________.
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
[举一反三]
1．（2022·湖北·高三开学考试）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（???????）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（???????）
A． B． C． D．
考点2平面向量的坐标运算
[名师点睛]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
[典例]
【例2】（2022·全国·高三专题练习）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（???????）
A． B． C． D．2
[举一反三]
1.在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq\o(CO,\s\up6(→))的坐标为()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1