新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第28讲 正弦定理和余弦定理（原卷版）.doc
第28讲正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R
常见变形
cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；
cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；
cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinAab
a≥b
ab
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).
(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sinAsinB?cosAcosB.
考点1利用正、余弦定理解三角形
[名师点睛]
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[典例]
1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
[举一反三]
1．（2022·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（???????）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
3．（2022·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．
4．（2022·江苏江苏·一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.
5．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
考点2判断三角形的形状
[名师点睛]
1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
[典例]
1．（2022·浙江·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（???????）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（?????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
[举一反三]
1．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（?????）
A．能制