2025年高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示.pptx

;第二讲平面向量的基本定理及坐标表示;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝_________________.

知识点二平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与______________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝_______，j＝(0，1)，0＝________.;知识点三平面向量的坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_________________，a－b＝_____________________，λa＝_____________，|a|＝____________.

2．向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．;知识点四向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?_______________.;归纳拓展

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”);(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()

[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)√;题组二走进教材

2．(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，3)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

[答案]B;[解析]A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．;[答案]C;题组三走向高考

A．(－7，－4) B．(7，4)

C．(－1，4) D．(1，4)

[答案]A;5．(2018·全国卷Ⅲ，13，5分)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.;考点突破·互动探究;平面向量基本定理的应用——师生共研;[解析]对A：不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ(e1－e2)，故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；对B：不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ(e2＋3e1)，故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；对C：对3e1－e2和2e2－6e1，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2(3e1－e2)，故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；对D：不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选ABD．;[答案]3;名师点拨：应用平面向量基本定理表示向量的方法

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：

1．运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．

2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．;【变式训练】

1．(2024·陕西西安一模)设k∈R，下列向量中，可与向量q＝(1,－1)组成基底的向量是()

A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)

C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)

[答案]C

[解析]若k＝0时，b＝(0，0)，c＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；若k＝±1时，e＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以D错误；因为?k∈R，k2＋1≠0，又因为(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1≠0恒成立，说明d与q不共线，故选C．;[答案]D;平面向量坐标的基本运算——自主练透;[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．

不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，;[解析]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝