新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第32讲 平面向量的数量积及应用举例（解析版）.doc
第32讲平面向量的数量积及应用举例
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).
(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点1数量积的计算
[名师点睛]
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
[典例]
1．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【分析】根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在平行四边形中，，则值为__________．
【答案】
【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.
【详解】由题设可得如下图：，而，
所以，
又，
所以，则，
故，可得，即.
故答案为：
[举一反三]
1．（2021·山东·高三开学考试）在中，AB=2，BC=3，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（???????）
A．［0，3] B．［1，3] C．［6，9] D．［3，9]
【答案】D
【分析】结合向量数量积的定义求得正确答案.
【详解】依题意，
由于是边上的动点，所以，
所以，即，
所以.
故选：D
2．（2022·北京八中高三阶段练习）在直角三角形中，，则（???????）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】根据数量积的定义即可求得结果.
【详解】因为为直角三角形，且，所以,
且,
所以.
故选:A.
3．（2022·江苏南京·高三开学考试）在中，记，则（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则得，进而根据数量积的运算绿即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C
4．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立