《《三维设计》二零一六届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）平面向量的数量积与平面向量应用举例（含解析）》.pdf

Go the distance 平面向量的数量积与平面向量应用举例 [知识能否忆起] 一、两个向量的夹角 1．定义 OA OB 已知两个非零向量a 和b ，作 ＝a ， ＝b ，则∠AOB ＝θ 叫做 向量a 与b 的夹角． 2 ．范围 向量夹角θ 的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ ＝180°. 3 ．向量垂直 如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b. 二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a||b|·cos θ 叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角． 规定0·a ＝0. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2 ．a ·b 的几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 三、向量数量积的性质 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a. 2 ．a ⊥b⇔a ·b ＝0. 2 3 ．a ·a ＝|a| ，|a|＝ a ·a. a ·b 4 ．cos θ＝ .(θ为a 与b 的夹角) |a||b| 5 ．|a ·b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a. 2 ．分配律：(a ＋b) ·c ＝a ·c ＋b ·c. 3 ．对λ∈R ，λ(a ·b) ＝(λa) ·b ＝a ·(λb) ． 五、数量积的坐标运算 Go the distance 设a ＝(a ，a ) ，b ＝(b ，b ) ，则： 1 2 1 2 1．a ·b ＝a b ＋a b . 1 1 2 2 2 ．a ⊥b⇔a b ＋a b ＝0. 1 1 2 2 2 2 3 ．|a|＝ a ＋a . 1 2 a ·b a b ＋a b 4 ．cos θ＝ ＝ 1 1 2 2 .(θ为a 与b 的夹角) |a||b| 2 2 2 2 a ＋a b ＋b 1 2 1 2 [小题能否全取] 1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a|＝ a·a B ．|a·b|＝|a|·|b| C ．λ(a·b) ＝λa·b D ．|a·b|≤|a|·|b| 解析：选B |a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B 是错误的． 2 ．已知|a|＝4 ，|b|＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( )