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最近八年函数江苏高考数学压轴题.doc

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PAGE PAGE 10 1. (2013)20.(本小题满分16分) 设函数,,其中为实数. (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围; (2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)≤0在上恒成立,则≥, . 故:≥1. , 若1≤≤e,则≥0在上恒成立, 此时,在上是单调增函数,无最小值,不合; 若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足. 故的取值范围为:>e. (2)≥0在上恒成立,则≤ex, 故:≤ eq \f(1,e) . . (ⅰ)若0<≤ eq \f(1,e) ,令>0得增区间为(0, eq \f(1,a) ); 令<0得减区间为( eq \f(1,a) ,﹢∞). 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞; 当x= eq \f(1,a) 时,f( eq \f(1,a) )=﹣lna-1≥0,当且仅当= eq \f(1,e) 时取等号. 故:当= eq \f(1,e) 时,f(x)有1个零点;当0<< eq \f(1,e) 时,f(x)有2个零点. (ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点. (ⅲ)若a<0,则在上恒成立, 即:在上是单调增函数, 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞. 此时,f(x)有1个零点. 综上所述:当= eq \f(1,e) 或a<0时,f(x)有1个零点;当0<< eq \f(1,e) 时,f(x)有2个零点. 2.(2012) 已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点. (1)求a和b的值; (2)设函数的导函数,求的极值点; (3)设,其中,求函数的零点个数. 解析: 3. (2011)19、(本小题满分16分)已知a,b是实数,函数 和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致 (1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值。 [解析]本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 (1)因为函数和在区间上单调性一致,所以,即 即 (2)当时,因为,函数和在区间(b,a)上单调性一致,所以, 即, 设,考虑点(b,a)的可行域,函数的斜率为1的切线的切点设为 则; 当时,因为,函数和在区间(a, b)上单调性一致,所以, 即, 当时,因为,函数和在区间(a, b)上单调性一致,所以, 即而x=0时,不符合题意, 当时,由题意: 综上可知,。 4.(2010) 20、(本小题满分16分) 设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质。 (1)设函数,其中为实数。 (i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。 (2)已知函数具有性质。给定设为实数, ,,且, 若||||,求的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 (1)(i) ∵时,恒成立, ∴函数具有性质; (ii)(方法一)设,与的符号相同。 当时,,,故此时在区间上递增; 当时,对于,有,所以此时在区间上递增; 当时,图像开口向上,对称轴,而, 对于,总有,,故此时在区间上递增; (方法二)当时,对于, 所以,故此时在区间上递增; 当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而 当时,,,故此时在区间 上递减;同理得:在区间上递增。 综上所述,当时,在区间上递增; 当时,在上递减;在上递增。 (2)(方法一)由题意,得: 又对任意的都有0, 所以对任意的都有,在上递增。 又。 当时,,且, 综合以上讨论,得:所求的取值范围是(0,1)。 (方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。 ①当时,有, ,得,同理可得,所以由的单调性知、, 从而有||||,符合题设。 ②当时,, ,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符。 ③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)。 5.(2009)20.(本小题满分16分) 设为实数,函数. (1)若,求的取值范围; (2)求的最小值; (3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解
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