最近八年函数江苏高考数学压轴题.doc

PAGE PAGE 10 1. （2013）20．（本小题满分16分） 设函数，，其中为实数． （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）≤0在上恒成立，则≥， ． 故：≥1． ， 若1≤≤e，则≥0在上恒成立， 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合； 若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足． 故的取值范围为：＞e． （2）≥0在上恒成立，则≤ex， 故：≤ eq \f(1,e) ． ． (ⅰ)若0＜≤ eq \f(1,e) ，令＞0得增区间为(0， eq \f(1,a) )； 令＜0得减区间为( eq \f(1,a) ，﹢∞)． 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 当x＝ eq \f(1,a) 时，f( eq \f(1,a) )＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝ eq \f(1,e) 时取等号． 故：当＝ eq \f(1,e) 时，f(x)有1个零点；当0＜＜ eq \f(1,e) 时，f(x)有2个零点． (ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点． (ⅲ)若a＜0，则在上恒成立， 即：在上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点． 综上所述：当＝ eq \f(1,e) 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜ eq \f(1,e) 时，f(x)有2个零点． 2.（2012） 已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求a和b的值； （2）设函数的导函数，求的极值点； （3）设，其中，求函数的零点个数． 解析： 3. （2011）19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致 （1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。 [解析]本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即 即 （2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以， 即， 设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为 则； 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以， 即， 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以， 即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意： 综上可知，。 4.（2010） 20、（本小题满分16分） 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。 (1)设函数，其中为实数。 (i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。 (2)已知函数具有性质。给定设为实数， ，，且， 若||||，求的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i) ∵时，恒成立， ∴函数具有性质； (ii)（方法一）设，与的符号相同。 当时，，，故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，图像开口向上，对称轴，而， 对于，总有，，故此时在区间上递增； （方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间上递增； 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。 综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增。 (2)（方法一）由题意，得： 又对任意的都有0， 所以对任意的都有，在上递增。 又。 当时，，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。 ①当时，有， ，得，同理可得，所以由的单调性知、， 从而有||||，符合题设。 ②当时，， ，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。 ③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。 5.（2009）20．(本小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解