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高考函数压轴题汇编 　　篇一：XX年高考导数压轴题汇编 　　XX年高考导数压轴题汇编  　　1.[XX·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝ 28?为自然对数的底数．  　　(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；  　　(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．  　　21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.  　　所以g′(x)＝ex－2a.  　　当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．  　　当a≤1  　　2g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调  　　递增，  　　因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；  　　当a≥e  　　2g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调  　　递减，  　　因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；  　　当12　　2令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区  　　间(ln(2a)，1]上单调递增，  　　于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.  　　综上所述，当a≤1  　　2时，g(x)在[0，1]上的最小  　　值是g(0)＝1－b；  　　当12　　2g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；  　　当a≥e  　　2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e  　　－2a－b.  　　(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点， 则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．  　　则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．  　　由(1)知，当a1  　　2时，g(x)在[0，1]上单调递增，  　　故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；  　　当a≥e  　　2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)  　　在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．  　　所以1e2　　此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区  　　间(ln(2a)，1]上单调递增．  　　因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b0，g(1)＝e－2a－b0. 由f(1)＝0得a＋b＝e－1　　则g(0)＝a－e＋20，g(1)＝1－a0， 解得e－2　　当e－2　　若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，  　　从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))　　又g(0)＝a－e＋20，g(1)＝1－a0.  　　故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.  　　由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．  　　所以f(x1)f(0)＝0，f(x2)　　综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．  　　2．[XX·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.  　　(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；  　　(2)数列{a＞c1，ap－1c－n}满足a1n＋1＝n＋1p  　　pppn  　　，  　　证明：a1  　　n＞an＋1＞p  　　21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．  　　①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立．  　　②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k1＋kx成立．  　　当p＝k＋1时，(1＋x)k＋  　　1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x.  　　所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．  　　综合①②可得，当x－1，x≠0时，对一切整数p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立． 　　(2)方法一：先用数学归纳法证明a1 　　ncp①当n＝1时，由题设知a1  　　1cp  　　1②假设n＝k(k≥1，k∈N*  　　)时，不等式akcp  　　成立．  　　由ap－1c－n＋1＝panp1np易知an0，n∈N*  　　. 当n＝k