四边形知识点与经典例题-.doc

第十九章 四边形 基础知识 （一）四边形由一般到特殊的演变示意图 （二）特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 定 义 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 性 质 1对边平行且相等。 2对角相等，邻角互补。 3对角线互相平分 1四个角都是直角。 2对角线相等。 1四条边都相等。 2两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。 1两腰相等两底平行 2同一底上的两角相等 3两条对角线相等 判 定 1定义： 2判定定理： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1定义： 2判定定理： （1）对角线相等的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 1定义： 2判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形。 (1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。 （2）先证明是菱形再证一个角是直角。 1定义：先判断是梯形在证明两腰相等。 2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3对角线相等的梯形是等腰梯形。 对称性 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 （三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE =∠CDF，AB= CD. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB =∠CFD = 90°， ∴△ABE≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB = OC. 又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO =∠CFO = 90o. ∵∠BOE =∠COF. ∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF. 评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例3已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. 证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD， ∴BE = CF. ∵BC = CB， ∴△BEC≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB. 例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，∠A =∠C. ∵AE = CF，∴△ABE≌△CDF. （2）解析： 四边形MFNE是平行四边形. ∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB =∠CFD，BE = DF. 又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME = FN. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB∥DF，即ME∥FN. ∴四边形MFNE是平行四边形. 评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA = OC，∠EOA =∠FOC，EA = EC. ∴△EOA≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EA = EC， ∴四边形AFCE是菱形. 例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点. （1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一. （1）①AE=CF；②OE = OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等. （2）①证明