高中数学必修2第2章点、直线、平面之间的位置关系.doc
空间点、直线、平面间的位置关系
一、平面的根本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
三、直线与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
直线l在平面α内
l?α
无数个
直线l与平面α相交
l∩α＝A
一个
直线l与平面α平行
l∥α
0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
两个平面平行
α∥β
0个
两个平面相交
α∩β＝l
无数个(这些公共点均在交线l上)
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
平面的根本性质及应用
典题导入
[例1](2012·湘潭模拟)如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，
求证：CE，D1F，DA三线共点．
[自主解答]
∵EF綊eq\f(1,2)CD1，
∴直线D1F和CE必相交．
设D1F∩CE＝P，
∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，
∴P∈平面AA1D1D.
又P∈EC且CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.
∴P∈AD.
∴CE、D1F、DA三线共点．
本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．
证明：∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面．
∴E，C1，F，D四点共面．
由题悟法
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的局部线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两局部，然后分别确定平面，再证平面重合．
以题试法
1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，以下命题正确的选项是()
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，以下命题正确的选项是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③假设分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，那么这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
(2)由四面体的概念可知，
AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；
当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；
设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．
答案：(1)C(2)①④
第二章点、直线、平面之间的位置