高中数学 ( 空间中直线与平面之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修.doc

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 重点难点 正确判定直线与平面的位置关系. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？ 图1推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做直线在平面内？ ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤直线在平面内 aα 直线与平面相交 a∩α=A 直线与平面平行 a∥α 应用示例 思路1 例1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2, 图2 我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确； A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确； A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确； l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B 变式训练 请讨论下列问题： 若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系. 图3 解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C. 求证：l与a、b、c共面. 证明：如图4,∵a∥b, 图4∴a、b确定一个平面，设为α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴Aα，Bα. 又∵Al，Bl,∴ABα，即lα. 同理b、c确定一个平面β，lβ, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面. 变式训练 已知aα,bα,a∩b=A,Pb,PQ∥a， 求证：PQα. 证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β. ∴Pβ，aβ，Pa.又Pα，aα，Pa, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQα. 点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路2 例1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交. 图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图6 用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交 C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平