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高中数学-(2.1.3-空间中直线与平面之间的位置关系)示范教案-新人教A版必修2.doc

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空间中直线与平面之间的位置关系

整体设计

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系,直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的,要求学生在公理1的根底上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系.

三维目标

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系.

2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.

3.进一步培养学生的空间想象能力.

重点难点

正确判定直线与平面的位置关系.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系?

思路2.(事例导入)

观察长方体〔图1〕,你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中,线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系?

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①什么叫做直线在平面内?

②什么叫做直线与平面相交?

③什么叫做直线与平面平行?

④直线在平面外包括哪几种情况?

⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.

活动:教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑,对答复正确的学生及时表扬.

讨论结果:①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.

②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.

③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.

④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

直线在平面内

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

a∥α

应用例如

思路1

例1以下命题中正确的个数是()

①假设直线l上有无数个点不在平面α内,那么l∥α

②假设直线l与平面α平行,那么l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行

④假设直线l与平面α平行,那么l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

分析:如图2,

图2

我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;

A1B1所在直线平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确;

l与平面α平行,那么l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.

答案:B

变式训练

请讨论以下问题:

假设直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解:直线l与平面α的位置关系有两种情况〔如图3〕,直线与平面平行或直线与平面相交.

点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要全面.

例2一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.

直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求证:l与a、b、c共面.

证明:如图4,∵a∥b,

图4

∴a、b确定一个平面,设为α.

∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.

又∵A∈l,B∈l,∴ABα,即lα.

同理b、c确定一个平面β,lβ,

∴平面α与β都过两相交直线b与l.

∵两条相交直线确定一个平面,

∴α与β重合.故l与a、b、c共面.

变式训练

aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,

求证:PQα.

证明:∵PQ∥a,∴PQ、a确定一个平面,设为β.

∴P∈β,aβ,P∈α,aα,Pa,

由推论1:过P、a有且只有一个平面,

∴α、β重合.∴PQα.

点评:证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.

思路2

例1假设两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解:如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5

用符号语言表示为:假设a∩b=A,bα,那么aα或a∩α=A.

变式训练

假设两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.

分析:如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为:假设a与b异面,aα,那么b∥α或b∩α=A.

点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要全面.

例2假设直线a不平行于平面α,且aα,那么以下结论成立的是()

分析:如图7,假设直线a不平行于平面α,且aα,那么a与平面α

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