常微分期末复习试题（华南理工大学）测验题2013解答.ppt

一. 求下列一阶微分方程的解: 测验解答 解: 为变量分离方程. 分离变量, 得 两边积分, 得通解 方程还有特解 为齐次微分方程. 作变换 方程变为 两边积分, 得 方程通解为 解: 原方程即 作变换 方程变为 解: 原方程即 令 得 再作变换 上式变为 分离变量,得 两边积分,得 最后, 代回 得通解 注意 即 包含在通解中. 为伯努利方程. 作变换 方程变为 由常数变易公式, 得 解: 原方程即 方程通解为 方程有特解 解: 记 由于 方程有仅与 x 有关的积分因子 用 乘原方程两边, 得 方程有特解 方程通解为 令 方程变为 两边对 求导, 得 于是 或 解: 为已解出 y 的一阶隐式微分方程 因此 或 将 代入 (6.1), 得通解 将 代入 (6.1), 得特解 令 方程变为 解: 为不显含 y 的一阶隐式微分方程 令 则 故方程通解为 或 解: 为里卡蒂微分方程. 观察知： 为方程的一个解，作变换 二. 设 在 的任一解在 上连续有界，证明 上有界. 证明：设 为 由常数变易公式，可得 的任一解，且 由于 在 上有界，则存在正数 ，使得在 上， 于是，在 上， 三. 证明: 初值问题 当 时只有一解. 时有无穷多个解, 当