常微分期末复习试题（华南理工大学）常微分方程（2）答案.doc
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《 常微分方程 》(2)答案：
一．单项选择题（每小题3分, 共15分）
1. c 2. B 3.D 4 . B 5. A
二. 填空题（每小题3分, 共15分）
1. ; 2. ;
3. ;
4. ; 5. 鞍点.
三. 求下列微分方程的解 ( 共36分)
1. 令得 （３分）
分离变量： （４分）
积分，得 （６分）
故： （７分）
2.
（３分）
(5分)
. (7分)
３．令 （１分）
积分因子 （４分）
通解： （６分）
特解： （７分）
４． 的特征根： 通解： （３分）
原方程特解设为：， （５分）
代入原方程，可得： 即 （７分）
所求通解为： （８分）
５．令 代入原方程，可得： （２分）
（４分）
故通解为： （７分）
四． 特征根： （２分）
对应特征向量：； 对应特征向量： ；（４分）
基解矩阵： ， ， （６分）
（１０分）
五． （２分）
取 则 定正． （４分）
定正， （６分）
故零解不稳定． ８分）
六．
, (2分)
（４分）
可得： (8分)
七.
叙述: 一阶线性微分方程: 其中
在 上连续, 则方程满足 的解在上
存在, 且是唯一的. (3分)
关于唯一性的证明:
作逐步逼近序列:
(5分)
有 且 为原初值问题的解.
即满足积分方程
.
设 也为原初值问题的解, 则满足积分方程
由 以及数学归纳法可得
. (7分)
于是有 由极限的唯一性,知
(8分)
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