二元函数微分学.doc

一元函数微分学 1、理解导数和微分的概念，了解其几何意义。了解函数可导、可微、连续之间的关系。 2、熟练掌握导数和微分的运算法则和导数的基本公式，了解高阶导数的概念，并能熟练的求初等函数的一、二阶导数。 3、掌握反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法。 4、理解罗尔定理和拉格朗日定理。 5、理解函数的极值概念，掌握求函数极值、判断函数的增减性、函数图形的凹向性以及求函数图形的拐点等的方法，能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线），掌握简单的最大值和最小值应用问题的求解。 6、会用罗比达法则求未定型 “”与 “ ”的极限（其他未定型不作要求）。 第一节 导数的概念 定义2.1.1 设函数在点及其近旁有定义，当自变量在有增量时，相应的函数有增量： 如果当时，比的极限存在，则称这个极限值为函数在点的导数，记为，即 （1） 也可以记为，或 若把记为，即，当时，有，于是导数定义（1）式可改写为 若函数在点存在导数，就称函数在点可导。函数在区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导。函数对于每一个，都有一个确定的导数值与之对应，即构成了的一个新的函数，这个新的函数叫做函数对的导函数，简称导数。记为、、或。 函数在点的导数就是导函数在点的函数值，即 函数增量与自变量增量之比是函数在点与为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点的变化率，它反映了函数随自变量而变化的快慢程度。例如：瞬时速度反映了物体运动的快慢程度等。 用导数的定义求函数的导数可分为以下三个步骤： （1）求函数的增量： （2）算比值 （3）求极限 例1 求函数的导数。 解：（1）设，则。 于是 ; (2) ; (3) 即 类似的，对于函数，可得 . 一般地，对于幂函数有公式。 利用幂函数的导函数公式求下列函数在指定点的导数： （1），求； （2），求 解：(1) ,由幂函数的导数公式得： 于是 （2）由幂函数的导函数公式得： 于是 证明 证明 所以， 利用导数的定义，可求得对数函数的导数： （log 特别地 还可求得指数函数的导数： 特别地 （e 例4下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么： （1）其中且存在； （2） 解 （1）因为，所以 因为存在，所以 ，所以 （2）因为 = 因为存在，所以 所以， 二、左右导数：讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性时，首先要求出函数在该点的左、右极限，此后还要用导数定义求出在分界点处的左、右导数。 左导数 右导数 定理1.2.1 函数在点可导的充要条件是： 例6 讨论函数在处连续性与可导性。 解：（1），在点连续 （2） 在点也可导。 例7设函数 问取何值时，可使在内处处可导，并求 分析 在处可导，即可在内处处可导。由于在的两侧用不同解析式表示，因而要从讨论和入手。 解 ： 由于在处可导，因而在该点必须连续，即有 当时， 当时， 由 可知. 又 由 可知 综上可知，当，时，在内处处可导，且 四、导数的几何意义 在点处的导数在几何上表示为：曲线在点，处的切线的斜率， 即 =k 其中是切线的倾角。 曲线在点，处的 切线方程为 ： 法线方程为：