第12章-全等三角形-复习总结课件.ppt

12.3 角的平分线的性质 课前预习 1. 在用尺规作图得一个角的平分线时，是用下列哪种方法证明三角形全等的 （ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2. 如下图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB,PF⊥AC，则PE= . D PF 3. 如下图,已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm ，则点D到AC的距离是 （ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm B 4.如下图，PD⊥AB，PE⊥AC,且PD=PE，连接AP,则∠BAP ∠CAP. = 课堂精讲 知识点1.画角的平分线的方法 作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺 规作图法，尺规作图法是常用的方法．尺规作图法的 步骤归纳如下： （1）以点O为圆心，OA为半径画孤，交OB于B. （2）分别以点A，点B为圆心，以AB，BA为半径作孤， 两孤相交于点D. （3）则射线OD为所求. 【例1】 利用尺规平分如下图的钝角∠AOB，并写出 作图步骤. 解： 作法:(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D，交OB于E. (2)分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧， 两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)射线OC即为所求（如下图）. D 变式拓展 1. 如下图，先作∠α的邻补角，再画该邻补角的平分线. 知识点2.角的平分线的性质 （1）内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相 等． （2）书写格式：如图所示，∵OM是∠AOB的平分线， C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F， ∴CE= CF. （3）运用角平分线的性质时应注意以下3个问题： ①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不 需要再用全等三角形； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直 变式拓展 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若BC=10，AD平分∠BAC，交BC于点D，且BD:CD=2:3，则D点到线段AC的距离为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 D 知识点3.角平分线的判定 （1）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上. （2）书写格式：如图所示，∵PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F，且PE=PF，∴点P在∠AOB的平分线 上． 【例3】 如下图，已知BM、CN是△ABC的两条角平分 线，且相交于点P.求证：P点也在∠BAC的平分线上. 解析： 要证P点在∠BAC的平分线上，即证P点到AB、 AC距离相等.从已知可知：P在BM上，∴P到AB、BC两 边的距离相等，P又在CN上，∴P到AC、BC两边的距 离相等，从而由等量代换可得证. 证明： 过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足分别为D、E、F. ∵BM是∠ABC的平分线，点P在BM上，PD⊥AB， PE⊥BC， ∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 同理PE=PF，∴PD=PF. ∴P点在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上）. 变式拓展 3.已知，如下图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，试证明点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL), ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC是∠AOB的平分线，即P点在∠AOB的平分线上. 随堂检测 1．到三角形三边距离相等的点是（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．不能确定 2.（2015萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=　 　． C 5 3.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． 请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 4.如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上． 证明： 过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G， ∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的