2024_2025学年高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式1.4.2一元二次不等式及其解法导学案北师大版必修第一册.doc

第四节一元二次函数和一元二次不等式

4.2一元二次不等式及其解法导学案

（1）理解一元二次不等式概念

（2）把握一元二次不等式解法

1.一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作__________.通常，它们都可以化为ax2+bx+c0的形式，其中a,b,c均为常数，且a≠0.使一元二次不等式成立的全部未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的______.

2.完成下列表格

1．已知函数f（x）＝x2﹣5ax+6a2（a∈R）．

（1）解关于x的不等式f（x）＜0；

（2）若关于x的不等式f（x）≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1}，求实数a的值．

2．设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1

（1）当m＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0：

（2）若关于x的不等式f（x）﹣m＞0的解集为（1，2），求m的值

1．二次函数y＝x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜2，x2＞2，如图所示，则a的取值范围是（）

A．a＜1或a＞5 B．a＜ C．a＜﹣或a＞5 D．﹣＜a＜1

2．不等式x2﹣9＜0的解集为（）

A．{x|x＜﹣3} B．{x|x＜3} C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜3}

3．若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（）

A．0≤a≤4 B．﹣4＜a＜0 C．﹣4≤a＜0 D．﹣4≤a≤0

4．不等式﹣x2+4x﹣3＞0的解集是（）

A．（1，3） B．（﹣1，3）

C．（﹣∞，1）∪（3，+∞） D．[1，3]

5．不等式（x﹣5）（x+1）＞0的解集是（）

A．{x|x≥5，或x≤﹣1} B．{x|x＞5，或x＜﹣1}

C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|﹣1≤x≤5}

6．不等式8x2﹣6x+1＜0的解集为（）

A． B．

C． D．

7．不等式x2﹣10x+25＞0的解集为（）

A．（5，+∞） B．（﹣∞，5）∪（5，+∞）

C．（﹣5，5） D．?

8．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）

A．（，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）

C．{x|α＜x＜β} D．（﹣∞，α）∪（β，+∞）

9．已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0，a∈R．

（1）若不等式的解集为{x|＜x＜1}，求a；

（2）当a∈R时，解此不等式．

【答案】：

【实践争论】

（1）.解：（1）不等式f（x）＜0，即x2﹣5ax+6a2＜0，可化为（x﹣2a）（x﹣3a）＜0，

当a＝0时，不等式为x2＜0，其解集为?；

当a＞0时，2a＜3a，不等式的解集为{x|2a＜x＜3a}；

当a＜0时，2a＞3a，不等式的解集为{x|3a＜x＜2a}；

（2）不等式f（x）≥2a可化为x2﹣5ax+6a2﹣2a≥0，

由该不等式的解集为{x|x≥4或x≤1}知，

1和4是不等式对应方程的两个实数根，

所以，

解得a＝1．

（2）解：（1）f（x）＞0即2x2﹣x＞0，即x（2x﹣1）＞0，

解得x＞或x＜0，

即解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）；

（2）关于x的不等式f（x）﹣m＞0的解集为（1，2），

即为1，2为方程（m+1）x2﹣mx﹣1＞0的两根，

可得1+2＝，1?2＝﹣，

解得m＝﹣．

【课后巩固】

B(2)D(3)D(4)A(5)B(6)A(7)B(8)A

(9)解：（1）关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0的解集为{x|＜x＜1}，

所以，解得a＝2；

（2）不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0等价于（ax﹣1）（x﹣1）＜0，a∈R；

当a＝0时，不等式化为x﹣1＞0，解得x＞1；

当a＞0时，不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＜0，

若0＜a＜1，则＞1，解得1＜x＜；

若a＝1，则＝1，解得x∈?；

若a＞1，则＜1，解得＜x＜1；

当a＜0时，不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0，

且＜0＜1，解得x＜或x＞1；

综上，a＝0时，不等式的解集为（1，+∞），

0＜a＜1时，不等式的解集为（1，）；

a＝1时，不等式的解集为空集；

a＞1时，不等式的解集为（，1）；

a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）．