2024_2025学年新教材高中数学第1章预备知识33.1不等式的性质学案北师大版必修第一册.doc
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不等式的性质
学习目标
核心素养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，驾驭不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质对不等式进行简洁的变形．(重点、难点)
1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培育逻辑推理素养．
2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养.
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
学问点1实数大小比较的基本领实
1．文字叙述
假如a－b是正数，那么ab；假如a－b等于0，那么a＝b；假如a－b是负数，那么ab，反过来也成立．
2．符号表示
a－b0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b0?ab.
(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是随意实数吗？
(2)p?q的含义是什么？
[提示](1)是．
(2)p?q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1.当m1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
[提示]∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m1，故(m－1)(m2＋1)0.
[答案]m3m2－m＋1
学问点2不等式的性质
性质1：假如ab，且bc，那么ac.
性质2：假如ab，那么a＋cb＋c.
性质3：(1)假如ab，c0，那么acbc；
(2)假如ab，c0，那么acbc.
性质4：假如ab，cd，那么a＋cb＋d.
性质5：(1)假如ab0，cd0，那么acbd；
(2)假如ab0，cd0，那么acbd.
性质6：当ab0时，eq\r(n,a)eq\r(n,b)，其中n∈N＋，n≥2.
(1)若ab，cd，那么a＋cb＋d成立吗？a－cb－d呢？
(2)若ab，cd，那么acbd成立吗？
[提示](1)a＋cb＋d成立，a－cb－d不肯定成立，但a－db－c成立．
(2)不肯定，但当ab0，cd0时，肯定成立．
2.已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()
A．ab－b－a B．a－b－ab
C．a－bb－a D．ab－a－b
[答案]C
3.下列命题正确的是()
A．ab，c≠0?ac2bc2 B．ab?eq\r(a)eq\r(b)
C．ab且cd?a＋cb＋d D．ab?a2b2
[答案]A
4.若ab0，n0，则eq\f(1,an)________eq\f(1,bn).(填“”“”或“＝”)
[答案]
类型1数式的大小比较
【例1】(1)已知x1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a0，试比较a与eq\f(1,a)的大小．
[解](1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).
∵x1，
∴x－10.
又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)0，
∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))0.
即x3－12x2－2x.
(2)∵a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(?a－1??a＋1?,a)，
又∵a0，
∴当a1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)0，
有aeq\f(1,a)；
当a＝1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；
当0a1时，eq\f(?a－1??a＋1?,a)0，有aeq\f(1,a).
综上，当a1时，aeq\f(1,a)；
当a＝1时，a＝eq\f(1,a)；
当0a1时，aeq\f(1,a).
1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)推断符号：对变形后的结果结合题设条件推断出差的符号．
(4)作出结论．
留意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“推断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
假如两实数同号，亦可采纳作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下：
依据
a0，b0
eq\f(a,b)1?ab；
eq\f(a,b)＝1?a＝b；
eq\f(a,b)1?a