2024_2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式1.1第二课时不等式的性质学案湘教版必修第一册.doc

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其次课时不等式的性质

清丽、美丽的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手摩挲着短裙，眼里闪耀着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻快地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值eq\f(x,y)在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由eq\f(x,y)变成了eq\f(x＋m,y＋m)，这个比值特别接近黄金分割值0.618.

[问题]你能利用不等式的性质证明吗？

学问点等式与不等式的性质

等式的性质

不等式的性质

a＝b?b＝a

性质1：假如ab，那么ba；假如ba，那么ab.即ab?ba

a＝b，b＝c?

a＝c

性质2：假如ab，bc，那么ac，即ab，bc?ac

a＝b?a＋c

＝b＋c

性质3：假如ab，那么a＋cb＋c；

推论1：假如a＋bc，那么ac－b；

推论2：假如ab，cd，那么a＋cb＋d

a＝b?ac＝bc

性质4：假如ab，c0，那么acbc；

假如ab，c0，那么acbc；

推论3：假如ab0，cd0，那么acbd；

推论4：假如ab0，那么aneq\a\vs4\al()bn(n∈N＋)

a＝b0?

eq\r(n,a)＝eq\r(n,b)

(n∈N＋)

性质5：假如ab0，那么eq\r(n,a)eq\a\vs4\al()eq\r(n,b)(n∈N＋)

性质6：假如ab，且ab0，那么eq\f(1,a)eq\a\vs4\al()eq\f(1,b)；

假如ab，且ab0，那么eq\f(1,a)eq\a\vs4\al()eq\f(1,b)

eq\a\vs4\al()

对不等式性质的四点说明

(1)性质2(即传递性)，在它的证明中，要用到比较大小的“定义”等学问；

(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据；

(3)性质4(即可乘性)，在运用时要特殊留意探讨“乘数的符号”；

(4)性质5(即可开方性)，在运用时留意该性质的适用条件是ab0.

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)同向不等式相加与相乘的条件是一样的．()

(2)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()

(3)若a＞b，则ac2＞bc2肯定成立．()

(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

2．已知a＋b0，b0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()

A．ab－b－a B．a－b－ab

C．a－bb－a D．ab－a－b

答案：C

3．若a＞b＞0，n＞0，则eq\f(1,an)________eq\f(1,bn).(填“＞”“＜”或“＝”)

答案：＜

利用不等式的性质推断命题的真假

[例1](链接教科书第36页练习1题)(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是()

A．若a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3

B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

C．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0

D．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)

[解析]A：因为a3，b3不变更a，b的符号，即符合不等式的可乘方性，故该结论正确．

B：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜b，,a＜0))可得a2＞ab.因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜b，,b＜0，))所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故该结论正确．

C：由eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，可知eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故该结论正确．

D：依题意取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，明显eq\f(b,a)＜eq\f(a,b).故该结论错误．故选A、B、C.

[答案]ABC

eq\a\vs4\al()

利用不等式的性质推断正误的2种方法

(1)干脆法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关