2024_2025学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用学案含解析新人教A版必修第一册.doc

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第2课时基本不等式的应用

关键实力·攻重难

题型探究

题型一均值不等式的敏捷运用

例1(1)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；

(2)已知eq\f(2,x)＋eq\f(2,y)＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．

[解析](1)∵x＞2，∴x－2＞0，

∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(?x－2?·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．

∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6．

(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·(eq\f(2,x)＋eq\f(2,y))＝4＋2(eq\f(x,y)＋eq\f(y,x))

≥4＋4eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝8．当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8．

[归纳提升]利用基本不等式求最值的策略

eq\x(策略)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探求条件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一正——各数均为正,二定——和或积为定值,三相等——等号能否成立)),利用不等式的性质转化))

【对点练习】?(1)若x＜0，求eq\f(12,x)＋3x的最大值；

(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

[解析](1)因为x＜0，所以eq\f(12,x)＋3x＝－[(－eq\f(12,x))＋(－3x)]

≤－2eq\r(?－\f(12,x)?·?－3x?)＝－12，当且仅当－eq\f(12,x)＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以eq\f(12,x)＋3x的最大值为－12．

(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．

∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，

∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(?2x－16?＋16,x－8)

＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(?x－8?×\f(16,x－8))＋10＝18．

当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．

∴x＋y的最小值是18．

解法二：由2x＋8y＝xy及x＞0，y＞0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1．

∴x＋y＝(x＋y)(eq\f(8,x)＋eq\f(2,y))

＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18．

当且仅当eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．

∴x＋y的最小值是18．

题型二利用基本不等式求参数范围

例2已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于(B)

A．10 B．9

C．8 D．7

[解析]因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，

只需m≤(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))恒成立，

而(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))＝4＋eq\f(2a,b)＋eq\f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9．

[归纳提升]1．恒成立问题常采纳分别参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax．将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．

2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中常常出现，在解决此类问题时，要留意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．

【对点练习】?若对随意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))__．

[解析]因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5)．

题型三基本不等式的实际应用

例3如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的