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2024年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1不等式及其性质学案新人教B版必修第一册.docx

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不等式及其性质

理解不等式的概念,驾驭不等式的性质.

新知初探·自主学习——突出基础性

学问点一实数大小比较

1.文字叙述

假如a-b是________,那么a>b;

假如a-b________,那么a=b;

假如a-b是________,那么a<b,反之也成立.

2.符号表示

a-b>0?a________b;

a-b=0?a________b;

a-b<0?a________b.

状元随笔比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a-b与0的大小关系,与差的详细数值无关.因此,比较两实数a,b的大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差a-b的符号,变形的常用方法有配方、分解因式等.

学问点二不等式的性质

性质

别名

性质内容

留意

1

对称性

a>b?________

可逆

2

传递性

a>b,b>c?________

3

可加性

a>b?________

可逆

4

可乘性

abc

c的符号

abc

5

同向

可加性

abc

同向

6

同向同正

可乘性

ab

同向

7

可乘方性

a>b>0?________

(n∈N,n≥2)

同正

8

可开方

a>b>0?________(n∈N,n≥2)

同正

状元随笔(1)性质3是移项的依据.不等式中任何一项变更符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+b>c?a>c-b.性质3是可逆性的,即a>b?a+c>b+c.

(2)留意不等式的单向性和双向性.性质1和3是双向的,其余的在一般状况下是不行逆的.

(3)在应用不等式时,肯定要搞清它们成立的前提条件.不行强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“明显成立”的思维定势.

基础自测

1.大桥桥头直立的“限重40吨”的警示牌,是提示司机要平安通过该桥,应使车和货物的总质量T满意关系()

A.T<40B.T>40

C.T≤40D.T≥40

2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.与x有关

3.已知x<a<0,则肯定成立的不等式是()

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<ax<0D.x2>a2>ax

4.不等式组2x+1>01

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1比较大小[教材P61例2]

例1比较x2-x和x-2的大小.

【解析】因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,从而(x2-x)-(x-2)>0,

因此x2-x>x-2.

状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.

教材反思

用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练1若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()

A.f(x)<g(x)

B.f(x)=g(x)

C.f(x)>g(x)

D.随x值变更而变更

题型2不等式的性质[经典例题]

例2对于实数a、b、c,有下列说法:

①若a>b,则ac<bc;

②若ac2>bc2,则a>b;

③若a<b<0,则a2>ab>b2;

④若c>a>b>0,则ac-a>b

⑤若a>b,1a>1b,则a>0,

其中正确的个数是()

A.2B.3

C.4D.5

方法归纳

(1)首先要留意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质.

(2)解决有关不等式选择题时,也可采纳特值法进行解除,留意取值肯定要遵循以下原则:一是满意题设条件;二是取值要简洁,便于验证计算.

跟踪训练2(1)已知a<b,那么下列式子中,错误的是()

利用不等式的性质,解题关键找准使不等式成立的条件.

A.4a<4b

B.-4a<-4b

C.a+4<b+4

D.a-4<b-4

(2)(多选)对于随意实数a,b,c,d,下列命题中不正确的是()

A.若a>b,c≠0,则ac>bc

B.若a>b,则ac2>bc2

C.若ac2>bc2,则a>b

D.若a>b,则1a<

题型3利用不等式性质求范围[经典例题]

例3已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列代数式的取值范围:

(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.

状元随笔运用不等式性质探讨代数式的取值范围,关键是把握不等号的方向.

方法归纳

利用不等式性质求范围的一般思路

(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;

(2)借助所给条件整体运用,切不行随意拆分所给条件;

(3)结合不等式的传递性进行求解.

跟踪训练3已知实数x,y满意:1<x<2<y<3,

(1)求xy的取值范围;

(2)求x-2y的取值范围.

状元随笔(1)依据不等式的性质6可干脆求解;

(2)求出-2y

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