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线性代数方法在高等数学解题中的应用

“线性代数”和“高等数学”是学生必学的基础课程，一般来说，线性代数是高

校中一门非常重要的基础课，虽然两门课在授课安排上并无密切关联，但线性代

数的解题方法能够对高等数学中的试题进行很好的解析。本文主要阐述了线性代

数方法在高等数学解题中的应用。

标签：线性代数；高等数学；应用

一、二次型理论的应用

线性代数中二次型理论是重点内容，求二次函数的极值问题，运用二次型理

论解决二次函数极值问题。

定理：二次型f=xAx‖x‖=1时的最大值与最小值分别为矩阵A的最大特

征值与最小特征值。

例1：求f（x，y，z）=5x2+5y2+5z2+

4xy-8xz-4yz，在实单位球面：x2+y2+z2=

1的大小极值，并且在大小极值状态下x，y，z的值？

解：由已知得，λ1（x2+y2+z2）≤

f（x，y，z）≤λ3（x2+y2+z2），其中λ1，λ3是二次型f（x，y，z）对应的

矩阵A的大小特征极值。

二次型的矩阵是：

5→2→-4

A=[2→1→-2]（1）

-4→-2→5

由|A-λE|=（λ-1）（λ2-10λ+1）

得A的特征值λ1=5-2√6，λ2=1，λ3=5+2√6

λ1=5-2√6对应的单位特征向量是：P1=—，λ3=5+2√6

的单位特征对应向量是：P3=—（2）

在（x，y，z）=—（-1，2+√6，1）时，最小值为：f（x，y，z）=

5-2√6；

在（x，y，z）=—（-1，2-√6，1）时，最大值为：f（x，y，z）=

5-2√6；

二、线性方程组知识的应用

例2：设：f（x）在[a，+∞）上n阶可导，limf（x）和limf（n）（x）存在，

求：limf（k）（x）=0（k=1，2，...n）。

证明：设limf（x）=A，limf（n）（x）=

B，根据Taylor公式可得：

f（x+k）=f（x）+kf‘（x）+—

f‘‘（x）+…+—f（n-1）（x）+—f（n）（ζk）（3）

xζkx+k

则limf（n）（ζk）=limf（n）（x）=B

根据函数极限得出：f（n）（ζk）=B+αk，其中limαk=0（K=1，2，n）

把该式引入到上式得出关于f‘（x），

f‘‘（x），…，f（n-1）（x），B的一个线性方程式：

f‘（x）+—f‘‘（x）+…+—f（n-1）（x）+—B=f（x+1）-f（x）-

—α1

2f‘（x）+—f‘‘（x）+…+—f（n-1）（x）+—B=f（x+2）-f（x）-

—α2

…

…

nf‘（x）+—f‘‘（x）+…+—f（n-1）（x）+—B=f（x+n）-f（x）-

—αn（4）

得出系数行列式：

1→—→…—→—

2→—→…—→—

…→…→…→…

n→—→…—→—（5）

1→1→…1→1

2→22→…2n-1→2n

…→…→…→…

n→n2→…nn-1→nn（6）

从方程组（4）中通过f（x），f‘（x），…f（n-1）（x），B解出，可得一

个f（x+k）-f（x）-—αk