高等数学相关线性代数正定矩阵.pdf

正定二次型

★正定二次型和正定矩阵的概念

★判别二次型或矩阵正定的方法

正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结

合二次型的中系数给出正定二次型的概念，并

给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。

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正定二次型和正定矩阵的概念

二次型的标准形不是唯一的。

标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。

限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是

不变的。



T

定理11(惯性定理)设有实二次型fxAx,

它的秩是r，有两个实的可逆变换

xCy与xPz,

使ky2+ky2++ky2,(k0)

1122rri

及z2+z2++z2,(0)

1122rri

则k,k,,k中正数的个数与,,,中正数的

12r12r

个数相等.正数的个数称为正惯性指数，负数的个数

称为负惯性指数



T

定义9设有实二次型fxAx,如果对于任何

x≠0,都有f(x)0,（显然f(0)=0），则称f为正定

二次型，并称对称阵A是正定的。记作A0；如果

对任何x≠0,都有f(x)0,则称f为负定二次型，

并称对称阵A是负定的，记作A0。



定理12实二次型T

fxAx为正定的充分

必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。





证设可逆变换xCy使

n

2

f(x)f(Cy)ky.

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