2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题04解三角形常考题型全归纳(五大题型)(学生版+解析).docx
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专题04解三角形常考题型全归纳
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TOC\o1-1\h\u题型01正余弦定理解三角形 1
题型02面积、周长、边的最值与范围 3
题型03有关中线、角平分线、垂线问题 5
题型04解三角形结合三角函数 7
题型05几何图形中解三角形 9
题型01正余弦定理解三角形
【解题规律·提分快招】
一、正、余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
2、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
=1\*GB3①边化角，角化边
=2\*GB3②大边对大角大角对大边
=3\*GB3③合分比：
（2）内角和定理：
=1\*GB3①
=2\*GB3②；
=3\*GB3③在中，内角成等差数列.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
2．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且，求的值．
3．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）记的角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若点D是BC边上一点，且，求的值.
4．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
5．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
6．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
题型02面积、周长、边的最值与范围
【解题规律·提分快招】
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
①②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
二、解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
3．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
题型03有关中线、角平分线、垂线问题
【解题规律·提分快招】
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
②向量法：,平方即可；
③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
2．（2024·吉林长春·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
(1)求；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
3．（24-25高三上