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2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题05数列常考题型全归纳(七大题型)(学生版+解析).docx

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专题05数列常考题型全归纳

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TOC\o1-1\h\u题型01裂项相消求和(含根式与指数型) 1

题型02错位相减求和 3

题型03分组、并项求和(不含奇偶项) 4

题型04倒序相加求和 5

题型05含绝对值求和 6

题型06关于奇偶项求和 7

题型07数列与不等式(含数学归纳法) 8

题型01裂项相消求和(含根式与指数型)

【解题规律·提分快招】

一、裂项技巧

①等差型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

②根式型

(1)

(2)

(3)

③指数型

(1)

(2)

(3)

【典例训练】

一、解答题

1.(2025·辽宁·模拟预测)已知数列的前项和为,且满足,,记.

(1)求证:是等差数列;

(2)若,求证:.

2.(2024·湖南长沙·模拟预测)数列为等差数列,为正整数,其前n项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.

(1)求;

(2)求证:.

3.(24-25高三上·江苏南京·阶段练习)已知等差数列的首项,且满足.

(1)求数列的通项;

(2)若,记数列的前项的和为,求满足的最小整数.

4.(24-25高三上·湖南娄底·期末)已知数列满足:,.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前n项和为,若,求证:.

5.(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知数列中,,为数列的前n项和,满足

(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前n项和

题型02错位相减求和

【解题规律·提分快招】

一、错位相减法求数列的前n项和

(1)适用条件

若是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和.

(2)基本步骤

(3)注意事项

①在写出与的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出;

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三下·河南·开学考试)已知为数列的前n项和,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

2.(24-25高三下·湖南·开学考试)已知数列的前项和为,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)已知,求数列的前项和.

3.(2024高三·全国·专题练习)已知各项均为正数的数列满足,且.

(1)写出,并求数列的通项公式;

(2)记,求数列的前项和.

题型03分组、并项求和(不含奇偶项)

【解题规律·提分快招】

一、分组求和的常见类型

二、并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.

【典例训练】

一、解答题

1.(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知正项数列的前项和为,且.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列前项的和.

2.(24-25高三下·安徽阜阳·开学考试)已知数列满足.

(1)求的通项公式;

(2)若,求数列的前项和.

3.(2025·湖北·模拟预测)已知数列是等差数列,且,.

(1)求的通项公式.

(2)试问有多少项为整数?

(3)求数列的前n项和.

4.(24-25高三下·湖南·阶段练习)已知数列的前项和.

(1)求的通项公式;

(2)若,求数列的前项和.

题型04倒序相加求和

【解题规律·提分快招】

将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前项和公式的推导即用此方法).

【典例训练】

一、解答题

1.(23-24高三下·四川成都·阶段练习)已知数列满足:,数列满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)求的值;

(3)求的值.

2.(2024·上海·模拟预测)已知,数列的前项和为,点均在函数的图象上.

(1)求数列的通项公式;

(2)若,令,求数列的前2024项和.

3.(2024·天津河西·三模)已知递增数列的前n项和为,且,.

(1)求数列的通项公式;

(2)设.

(ⅰ)求数列的通项公式;

(ⅱ)求.

题型05含绝对值求和

【解题规律·提分快招】

一、数列绝对值求和

1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有

2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有

【典例训练】

一、解答题

1.(23-24高三上·贵州·阶段练习)记等差数列的前项和为,已知,.

(1)求的通项公式;

(2)记数列的前项和为,求.

2.(2025·福建漳州·模拟预测)已知数列为等差数列,.

(1)求数列的通项公式.

(2)若,求数列的前n项和.

3.(24-25高三上·河北衡水·

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