2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题01新高考情景下的创新定义问题(八大题型)(原卷版+解析).docx
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专题01新高考情景下的创新定义问题
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TOC\o1-1\h\u题型01集合中的新定义 1
题型02平面解析几何中距离的新定义 3
题型03函数中的新定义 4
题型04立体几何中的新定义 6
题型05概率与统计中的新定义 8
题型06导数中的新定义 11
题型07圆锥曲线中的新定义 13
题型08数列中的新定义 15
题型01集合中的新定义
【解题规律·提分快招】
1、集合新定义问题的方法和技巧
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合.
(1)当时，写出集合；对于，写出；
(2)当时，如果，求的最小值；
(3)求证：.
（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合．
(1)分别判断集合与是否为完美集合；
(2)当时，若，求完美集合；
(3)若集合为完美集合，记，求证：．
3．（2024·浙江·二模）已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
?称函数是次模的，若对于任意,
已知函数是次模的．
(1)判断是否一定是单调的，并说明理由；
(2)证明：对于任意，，；
(3)若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：
4．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
5．（2024·浙江杭州·一模）已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.
(1)若数列，求集合，并写出的值;
(2)若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;
(3)若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.
题型02平面解析几何中距离的新定义
【解题规律·提分快招】
1、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·四川·期中）定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离；为A，B两点间的欧几里得距离．
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，点在函数图象上，点在函数图象上，且，点A，B有的最小值为4，求实数a的取值．
2．（2024·山东·模拟预测）设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）
3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应