2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题07导数及其应用(七大题型)(原卷版+解析).docx

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专题07导数及其应用(七大题型)

TOC\o1-1\h\u题型012023-2024年高考+春考真题 1

题型02导数及其应用 2

题型03导数的实际应用（含与立体几何、三角函数等结合） 2

题型04导数、抽象函数等综合 6

题型05求极限、分段函数问题 7

题型06导数与数列、空间向量与立体几何 8

题型07其他补充强化训练 9

【解题规律·提分快招】

1、求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．

2、)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．

3、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．

4、若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

5、题源注明：因题源有限，导数的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型012023-2024年高考+春考真题

【典例1-1】．（2024?上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（）

A．存在f（x）是偶函数

B．存在f（x）在x＝2处取最大值

C．存在f（x）为严格增函数

D．存在f（x）在x＝﹣1处取到极小值

【典例1-2】．（2024?上海）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（）

（1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点

（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

【典例1-3】．（2023?上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝．

题型02导数及其应用

【典例2-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，若，则．

【典例2-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，则．

【变式2-1】．（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为．

【变式2-2】．（25-26高三上·上海·单元测试）函数的驻点为．

【变式2-3】．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是.

【变式2-4】．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为.

【变式2-5】．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为.

【变式2-6】．（2024·上海浦东新·三模）已知为偶函数，若，则．

【变式2-7】．（23-24高二下·上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是

题型03导数的实际应用（含与立体几何、三角函数等结合）

【典例3-1】．（24-25高三·上海·随堂练习）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为．

【典例3-2】．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为．

【变式3-1】．（23-24高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为.

【变式3-2】．（23-24高二下·上海·期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为可使爆破体积最大．

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【变式3-3】．（23-24高二下·上海·期中）如图，用