2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题06数列(九大题型)(原卷版+解析).docx

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专题06数列(九大题型)

TOC\o1-1\h\u题型012021-2024年高考+春考真题 1

题型02定义法求解数列 2

题型03无穷等比数列及其应用 3

题型04分段数列 3

题型05取值范围、最值问题 4

题型06数列中的个数、项数问题 4

题型07数列的实际应用，其他应用 5

题型08列举分析、综合分析 5

题型09选择压轴题 6

【解题规律·提分快招】

1、解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．

2、解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

3、求数列的最大项与最小项的常用方法

①函数法，利用函数的单调性求最值．

②利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．

a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

4、如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．

5、错位相减法求和时，应注意：

①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．

②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.

题型012021-2024年高考+春考真题

【典例1-1】．（2024?上海）无穷等比数列{an}满足首项a1＞0，q＞1，记In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，集合In是闭区间，则q的取值范围是．

【典例1-2】．（2024?上海）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为．

【变式1-1】．（2023?上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝．

【变式1-2】．（2023?上海）已知无穷数列{an}的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，则下列各项中可能成立的是（）

A．a1，a3，a5，?，a2n﹣1，?为等差数列，a2，a4，a6，?，a2n，?为等比数列

B．a1，a3，a5，?，a2n﹣1，?为等比数列，a2，a4，a6，?，a2n，?为等差数列

C．a1，a2，a3，?，a2022为等差数列，a2022，a2023，?，an，?为等比数列

D．a1，a2，a3，?，a2022为等比数列，a2022，a2023，?，an，?为等差数列

【变式1-3】．（2022?上海）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（）

A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列

B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列

C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021

D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021

【变式1-4】．（2022?上海）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝1，2，…，100）中不同的数值有个．

【变式1-5】．（2021?上海）已知{an}为无穷等比数列，a1＝3，an的各项和为9，bn＝a2n，则数列{bn}的各项和为．

【变式1-6】．（2021?上海）在无穷等比数列{an}中，（a1﹣an）＝4，则a2的取值范围是．

题型02定义法求解数列

【典例2-1】．（24-25高三上·上海·期中）设等比数列满足，，则.

【典例2-2】．（2024·上海静安·一模）设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为.

【变式2-1】．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.

【变式2-2】．（24-25高三上·上海·期中）设等差数列的公差不为0，其前项和为．若，则．

【变式2-3】．（24-25高二上·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为.

【变式2-4】．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知数列是等差数列，，则.

题型03无穷等比数列及其应用

【典例