2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题03三角函数与解三角形(十一大题型)(原卷版+解析).docx
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专题03三角函数与解三角形(十一大题型)
TOC\o1-1\h\u题型01求值域、最值 2
题型02三角函数中解不等式 2
题型03零点问题 3
题型04实数解、方程根等问题 4
题型05导数与三角形函数 4
题型06解三角形,周长、面积问题 5
题型07最值问题 5
题型08取值范围问题 6
题型09解三角形与数列 6
题型10平面向量、三角函数、解三角形综合 7
题型11三角函数的实际应用 8
【解题规律·提分快招】
1、已知三角函数解析式求单调区间:
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω0,可借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.
3、周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω0)的周期为求解.
4、确定y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=eq\f(M-m,2),b=eq\f(M+m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=eq\f(2π,T).
(3)求φ,常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
5、解三角形问题的技巧
(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
题型01求值域、最值
【典例1-1】.(24-25高三上·上海宝山·阶段练习)已知,
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,求函数的值域.
【变式1-1】.(23-24高三上·上海静安·期末)记,其中为实常数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若函数的图像经过点,求该函数在区间上的最大值和最小值.
【变式1-2】.(2024·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0
0
1
0
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整,并直接写出函数的解析式;
(2)设,求函数的值域;
【变式1-3】.(24-25高三上·上海·阶段练习)已知函数.
(1)将化成的形式,并写出的最小正周期及对称轴方程;
(2)若在上的值域为,求的取值范围.
题型02三角函数中解不等式
【典例2-1】.(24-25高三上·上海奉贤·期中)已知函数y=fx是定义在?1,1上的奇函数,并且当时,.
(1)求函数y=fx
(2)求关于x的不等式的解集.
【变式2-1】.(23-24高三上·上海嘉定·期中)已知函数,.
(1)求函数的严格减区间;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
题型03零点问题
【典例3-1】.(24-25高三上·上海闵行·期中)已知函数(其中常数).
(1)若函数的最小正周期是,求的值及函数的单调递增区间;
(2)若,,求函数的值域及零点.
【典例3-2】.(2024·上海·模拟预测)已知函数.
(1)求函数的在上单调递减区间;
(2)若函数在区间上有且只有两个零点,求m的取值范围.
【变式3-1】.(2024·上海徐汇·一模)已知,若定义在上的函数的最小正周期为,且对任意的,都有.
(1)求实数的值;
(2)设,当时,,求的值.
【变式3-2】.(24-25高三上·上海·期中)已知,,
(1)若,求函数,的值域;
(2)已知,且函数的最小正周期为,若函数在上恰有3个零点,求实数的取值范围.
【变式3-3】.(2024·上海金山·二模)已知函数,记,,,.
(1)若函数的最小正周期为,当时,求和的值;
(2)若,,函数有零点,求实数的取值范围.
【变式3-4】.(24-25高三上·上海·开学考试)已知函数的表达式为,
(1)设,求函数,的单调增区间;
(2)设实数,的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.
题型04实数解、方程根等问题
【典例4-1】.(24-25高三上·上海·期中)已知函数的表达式为.
(1)求函数的单调增区间;
(2)求方程在上的解.
【变式4-1】.(2023·上海宝山·二模)已