2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用(5大题型)(原卷版+解析).docx
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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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TOC\o1-1\h\u题型01重心 1
题型02外心 2
题型03内心 3
题型04垂心 4
题型05奔驰定理 6
题型01重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（????）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（????）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
3．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（???）
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（????）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则．
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是a，b，c，三角形的重心是O.已知.
(1)求a的长.
(2)求的面积.
题型02外心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点是△的外心，则或
；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（????）
A． B．50 C．25 D．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（????）
A．3 B．6 C．7 D．9
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（????）
A．与不共线 B．与垂直
C． D．
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则．
题型03内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（????）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．（2025高三·全国·专题练习）设的内角，，的对边分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的（????）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为．
6．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任