第37讲：三角形四心及奔驰定理（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

37第讲三角形四心及奔驰定理

技巧一．四心的概念介绍：知识梳理

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为G

x+x+xy+y+y112233

123123

(3，3)．

注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0．

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

11

重心的向量表示：AG=3AB+3AC．



奔驰定理：S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等

于λ:λ:λ321ABC



奔驰定理证明：如图，令λOA=OA，λOB=OB，λOC=OC，即满足OA+OB+

11213111

OC=01

S△AOB=1，S△AOC=1，S△BOC=1，故S:S:S=λ:λ:λ．

S△AOB11λλ12S△AOC11λλ13S△BOC11λλ23△AOB△AOC△BOC321

技巧三．三角形四心与推论：

(1)O是△ABC的重心：S:S:S=1:1:1⇔OA+OB+OC=0．

△BOC△COA△A0B

(2)O是△ABC的内心：S:S:S=a:b:c⇔aOA+bOB+cOC=0．

(3)O是△ABC的外心：△B0C△COA△AOB

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S:S:S=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0．

△B0C△COA△AOB

(4)O是△ABC的垂心：

S:S:S=tanA:tanB:tanC⇔tanAOA+tanBOB+tanCOC=0．

△B0C△COA△AOB

技巧四．常见结论

ABAC

(1)内心：三角形的内心在向量+