第87讲：二项式定理（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

87第讲二项式定理

知识梳理

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

(1)二项式定理n0n1n-1rn-rr

一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)=Ca+Cab+⋯+Cab+⋯

nnn

nn∗

+Cb(n∈N)，

n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展

开式．rn-rr

式中的Cab做二项展开式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项：T

nr+1r+1

rn-rr

=Cab，

n

r

其中的系数C(r=0，1，2，⋯，n)叫做二项式系数，

n

n

(2)二项式(a+b)的展开式的特点：

①项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；r

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为C，最大二项式系数项居中；

n

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b

升幂排列，次

数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；

012rn

④项的系数：二项式系数依次是C，C，C，⋅⋅⋅，C，⋅⋅⋅，C，项的系数是a与b的系数

(包括二项式系nnnnn

数)．

(3)两个常用的二项展开式：

n0n1n-1rrn-rrnnn

①(a-b)=Ca-Cab+⋯+(-1)⋅Cab+⋯+(-1)⋅Cb()

nnnn

n122rrn

②(1+x)=1+Cx+Cx+⋯+Cx+⋯+x

nnn

(4)二项展开式的通项公式rn-rr

二项展开式的通项：T=Cabr=0,1,2,3,⋯,n

r+1n

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；

②字母b的次数和组合数的上标相同；

③a与b的次数之和为n．

nrn-rrn

注意：①二项式(a+b)的二