2025年高考数学必刷题分类：第37讲、三角形四心及奔驰定理（教师版）.pdf

第讲三角形四心及奔驰定理

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知识梳理

技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相

等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为

112233

xxxyyy

123123

G(，)．

33



注意：（1）在△ABC中，若为重心，则OAOBOC0．

O

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．



11

重心的向量表示：AGABAC．

33



SOASOBSOC0△AOB△AOC△BOC

奔驰定理：ABC，则、、的面积

之比等于::

321



奔驰定理证明：如图，令OAOA，OBOB，OCOC，即满足

112131



OAOBOC0

111

S1S1S1

△AOB，△AOC，△BOC，故S:S:S::．

△AOB△AOC△BOC321

SSS

△AOB12△AOC13△BOC23

111111

技巧三．三角形四心与推论：



（1）是的重心：．

O△ABCS:S:S1:1:1OAOBOC0

△BOC