2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题14阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题(3大题型)(学生版+解析).docx
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专题14阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题
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TOC\o1-1\h\u题型01阿基米德三角形 1
题型02椭圆中焦点三角形的内切圆 5
题型03双曲线中焦点三角形的内切圆 7
题型01阿基米德三角形
【解题规律·提分快招】
一、阿基米德三角形
1、定义：如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB；性质2：MA⊥MB；性质3：MN∥x轴；性质4：S△ABM最小值为p2
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6、点的坐标为；
7、底边所在的直线方程为
8、的面积为．
9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
图1
11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）为抛物线的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦
A．
B．底边的直线方程为；
C．是直角三角形；
D．面积的最小值为.
2．（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（????）
A． B．
C． D．点P的坐标为
二、多选题
3．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（????）
A．点的纵坐标为 B．的准线方程为
C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（????）
A．轴
B．若过点2,0，则点S在直线上
C．若，则面积的最大值为4
D．若过点，则
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点为的中点，为坐标原点，为其阿基米德三角形，则（????）
A．存在点，使得 B．任意点，都有
C．任意点，都有 D．面积的最小值为4
6．（24-25高三上·陕西榆林·期末）若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则（????）
A．点的横坐标为 B．
C． D．面积的最小值为16
三、填空题
7．（24-25高三上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；②；③．
已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为．
四、解答题
8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB