d18函数的连续性与间断点省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第八节函数连续性

与间断点

函数连续性(continuity)

函数间断点

(discontinuouspoint)

小结

第一章函数、极限与连续

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函数连续性与间断点

在自然界中,许多事物改变是连续,

如气温改变很小时,金属棒长改变也很小.时

间改变很小时,生物生长也极少.这种现象

在函数关系上反应就是函数连续性.

在高等数学中,主要研究对象就是连续

函数.从直观上不妨这么说,连续函数

特征就是它图形是连续,也就是说,能够

一笔画成.

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函数连续性与间断点

一、函数连续性

1.函数增量

自变量x称差为自变量在

0x,xxx0

x0增量;函数伴随从f(x0)f(x),称差

yf(x)f(x0)f(x0x)f(x0)为函数

增量.xx0x

yy

yf(x)

如图:yf(x)

yf(x0)y

x



f(x0)x

OO

x0x0xxx0x0xx

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函数连续性与间断点

2.连续定义

定义1设函数在若

f(x)U(x0,)内有定义,

limy0

x0

则称函数f(x)在x处连续,并称x为函数f(x)

把极限0与连续性联络起0来了,且提

连续点.

供了连续函数求极限简便方法——只

需设求出该点函数特定值

xx0x,yf(.x)f(x0),

采取了即为无穷小定义法即为

x0xx0,y0f(x)f(x0).

自变量在x0点增量为无穷小时,函

定义2若

数增量li也m为f(无x)穷小f(.x形0)象,则地称表函示数了f(连x)续在x0处

xx0

连续性.特征.

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函数连续性与间断点

连续性二种定义形式不一样,但本质相同.

这二种定义中都含有三个要素:

在内有定义

(1)f(x)U(x0,);

(2)limf(x)存在;

xx0

(3)limf(x)f(x0)

xx0

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函数连续性与间断点

limy0

x0

例证明函数ysinx在区间(,)内连续.

证任取x(,),

ysin(xx)sinx

xxxxx

2sincos(x)21sin

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