《线性代数课件3-2矩阵的秩》课件.ppt

⑦ ⑧ 作业： 习题三 2、3、4、5 进一步 A A的标准形 习题课作业 解 解 猜测 用数学归纳法证明 解 解 证 由已知得： 同样的有： 从而 即 于是得： 证 谢谢！ 作业中的问题（习题二） 解 证 解 1. k 阶子式 定义 设A为m×n 矩阵，在A中任取k行k列(1?k?min (m, n))，由这k行，k 列的交叉处的 k2个元素(按原来的前后顺序)所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式. (1)A的每个元素aij 都是A的一个一阶子式 (2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为| A | 注： 例如： 一个2阶子式 一个3阶子式 矩阵的秩： 定义 矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为R (A)。 (显然R (A) ? min (m, n)) 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。 规定： 零矩阵的秩为0，即 R(O) = 0 矩阵A的秩小于行数且小于列数 例如： 所以，R(A) = 3 例1 解 例2 解 练 习 解 计算A的3阶子式， 另解 显然，非零行的行数为2. 此方法简单！ 行阶梯型矩阵非零行的行数与矩阵的秩之间有何关系？ 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 !!! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 A与B等价 A与B行阶梯型矩阵非零行的行数相等 A与B的秩相等 求矩阵秩的方法： 求矩阵A的行阶梯型矩阵非零行的行数 矩阵经过初等变换之后，秩不变 1、先证明经过一次初等行变换后，秩不变， 2、再证明经过一次初等列变换后，秩不变， 便得到经过一次初等变换，秩不变；于是，经过有限次的初等变换秩不变. A与B等价，即A可经过有限次初等变换变成B 证: 1、i,j行不在Dr内， 2、i,j行都在Dr内时， 4、只有j行在Dr内时， 3、只有i行在Dr内时， 1、i,j行不在Dr内时， 2、i,j行都在Dr内时， 4、只有i行在Dr内时, 3、只有j行在Dr内时, 经一次初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等变换矩阵的秩仍不变． 求矩阵秩的方法： 求矩阵A的行阶梯型矩阵非零行的行数 例3 解 思 考 解 例4 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知, 练 习 解： 满秩矩阵与降秩矩阵： 例5 解 只需对增广阵进行初等变换 练习 解 ① ② ③ 总 结 ④ ⑤ ⑥