线性代数 张培龙 2013代数几何CH2习题课.ppt

1、矩阵的定义 7、矩阵的初等变换 * * 第二章 矩阵及其运算 习题课 第二章 矩阵及其运算 习题课 第二章 矩阵及其运算 习题课 2、矩阵的运算 矩阵乘法 一、重点回顾 3、逆矩阵 A可逆的充要条件 (1)??| A-1 |=| A|-1; (2)? (AB)也可逆,且(AB)-1=B-1A-1； (4)???AT也可逆, 且(AT )-1 = (A-1)T； 4、特殊矩阵的逆阵 1) E-1 = E; 2) 当A1 , A2 , … , AS 都是可逆阵时, 特别, 当Ai 都是数时,上面结论仍成立. 一、重点回顾 5、矩阵的行列式 设A、B为两个n阶方阵，则 (1)|?A|= ?n|A|； 一、重点回顾 6、矩阵的秩 R(A+B) ? R(A) + R(B) 若P、Q可逆，则R(PA) = R(AQ) = R(PAQ) = R(A) A的所有元素的代数余子式 对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A; 对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 初等变换的应用 求逆矩阵 解方程:AX=B (A可逆) 解方程:XA=B (A可逆) 求矩阵的秩 1）将A用初等行变换化为行阶梯矩阵； 2）R(A) =A的行阶梯矩阵的非零行数. 一、重点回顾 解 AT 证 3. 设A为3阶矩阵? 求| (2A) ?1 ? 5A* |? 解 ? (?2)3 |A ?1| ? |?2A?1| ? ? 8 |A|?1 ? ? 8?2 ? ?16? 解 5. 设A3 =2E, 证明A+2E 可逆, 并求( A+2E )-1. 分析 只要求得矩阵B, 使得(A+2E) B = E 即可. 而 A3 +8E = (A+2E) (A2－2A + 4E ), 再由条件A3 = 2E 即得结论. 6. 设AP ? P?? 其中 求? (A) ? A8 ( 5E ? 6A ? A2 )? 分析 由 AP ? P? 得? A ? P?P -1 故，A8 ? P?P -1 P?P -1‥‥ P?P -1 P?P -1 ? P?8P -1 (1) √ 7. 若A、B、C是同阶矩阵，且A可逆，下列结论是否成立? (1) 若AB =AC，则B = C ； (2) 若AB =CB，则A = C ； (3) 若AB = O，则B = O . (2) × 当B = O，A ? C 时 (3) √ AB = O ? A-1AB = A-1O = O AB=AC ? A-1AB = A-1AC ? B=C.