线性代数 张培龙 2013代数几何CH3-1.ppt

第一讲 n 维向量及其线性运算 一、 n 维向量的概念 二、 n维向量的线性运算 三、向量组及其线性组合 三、向量组及其线性组合 三、向量组及其线性组合 三、向量组及其线性组合 三、向量组及其线性组合 三、向量组及其线性组合 四、线性无关与线性相关的概念 作 业 * * 向量组的线性相关性(1) 第三章 向量与向量空间 引例 研究人造地球卫星在天空运行时的状态，人们 不但希望知道它的几何轨迹，还希望知道它在某时刻 t 的位置及表面温度? 和压力 p。在数学上，我们如何 表示卫星的状态呢？ 某时刻 t 的状态可用六元有序数组( t ，x，y，z ，? ， p) 来表示。 由此可知，在许多实际问题中，所研究的对象需要用多 个数构成的有序数组来描述，仅用三元有序数组即几何 向量是不够的。因此有必要把几何向量推广到n维向量。 定义 n个数a1, a2 , … , an所组成的有序数组a1, a2, … , an称为 n维向量，记作 行向量 列向量 列向量记作： 行向量记作： 注 以后没有特别说明，所说向量均指列向量. 这n个数称为该向量的n个分量，其中第i个数ai 称为第i个分量. （a1, a2, …, an） 一、 n 维向量的概念 行矩阵 列 矩 阵 加法运算 减法运算 数与向量的乘法 n维向量的加减法运算和向量与数的数乘运算统称为向量的 线性运算. 和向量 差向量 数乘向量 练习P79 2 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 矩阵A=(aij)m×n 有n个m 维列向量 矩阵A=(aij)m×n 有m个n 维行向量 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 的线性组合， 注(1) 定义中的数k1，k2，…，km只要存在即可,不唯一. (2) 零向量可由任何向量组线性表示. 若存在一组数k1,k2,…,km使 线性表示. 【定义3.10 】 线性组合. 【定义3.11】 设有两个 n 维向量组 若B组中的每个向量能由向量组A线性表示，则称向量组B能 由向量组A线性表示. 若向量组A与B能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 例1 单位坐标向量组 e1 = (1,0,0)T，e2 = (0,1,0)T ，e 3= (0,0,1)T 和向量组 ?1 = (1,1,1)T ，?2 = (1,1,0)T ，?3 = (1,0,0)T 是否等价? 解 因为 ?1 = e1+e2+e3， ?2 = e1+e2， ?3 = e1. 又容易解出 e1 = ?3， e2 = ?2 － ?3 ， e3 = ?1－?2 . 可见这两个向量组可以相互线性表示，因此它们是等价的向量组. n 维向量组 e1 = (1,0,…,0)T, e2 = (0,1,…,0)T, …, en = (0,0,…,1)T 称为单位坐标向量组. 【定义3.12 】 则称向量组α1, α2, …,αm是线性相关的， 注意 否则称它线性无关． 解 设有一组数k1, k2, …, kn ,使 例2 讨论 n 维向量组 e1 = (1,0,…,0)T, e2 = (0,1,…,0)T, …, en = (0,0,…,1)T 的线性相关性. 四、线性无关与线性相关的概念 向量组α1 ,α2 , … ,αm线性相关 方程组x1α1+ x2α2 + … + xmαm=0有非零解. 四、线性无关与线性相关的概念 证 设有一组实数k1，k2，…，km使 线性无关，得线性方程组 例3 设向量组α1,α2 ,…,αm ( m 1) 线性无关, 且 只有零解， 线性无关！ P79 2 P89 2， 3