线性代数 张培龙 2013代数几何CH2-3.ppt

复习 复习 一、矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 作 业 * * 第四节 矩阵的初等变换 与矩阵的秩 对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算，如将方程组的系数用矩阵表示，相应的运算为矩阵的初等变换. 解方程的三种变换: 1)互换两个方程的位置； 方程组的这三种变换不改变方程组的解，称为方程组的同解变换. 2)用一个非零数乘某一个方程； 3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去． 【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)??对调两行 ( 对调 i 与 j 两行记为 ) ； (3) 把某一行所有元素的 k 倍分别加到另一行对应的元素 上去 (第 j 行 k 倍加到第 i 行上去,记为 ). (2)??以数k≠0乘第 i 行的所有元素(记为 )； 【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等列变换: (1)??对调两列，对调 i 与 j 两列记为 (3) 把某一列所有元素的 k 倍分别加到另一列对应的元素 上去，第 j 列 k 倍加到第 i 列上去,记为 (2)??以数k≠0乘第 i 列的所有元素记为 注 1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换. 2）矩阵的初等变换是可逆的. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 则称矩阵A与B等价，记做A ~ B. 等价矩阵 【定义2.7】下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)??对调两行 ( 对调 i 与 j 两行记为 ) ； (3) 把某一行所有元素的 k 倍分别加到另一行对应的元素 上去 (第 j 行 k 倍加到第 i 行上去,记为 ). (2)??以数k≠0乘第 i 行的所有元素(记为 )； 二、矩阵的化简 形如: 的矩阵称为行阶梯矩阵. 特点 (1)若矩阵有零行，那么零行全部位于非零行的下方； (2)各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到 下严格递增. (3)各个非零行左起的第一个非零元素为1，且其所在的列除此元素外，其余元素均为零. 具有特点(1), (2), (3)的行阶梯矩阵称为行最简矩阵. 形如: 的矩阵称为行阶梯矩阵. 特点：(1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯 线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第 一个非零元． 二、矩阵的化简 例1 用初等变换化简矩阵 行阶梯矩阵 二、矩阵的化简 例1 用初等变换化简矩阵 行阶梯矩阵 行最简矩阵 二、矩阵的化简 例1 用初等变换化简矩阵 注: 1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵； 3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型 . 矩阵A的 标准型 二、矩阵的化简 例2．解线性方程组 解 二、矩阵的化简 1.矩阵秩的概念 是A的两个二阶子式. 【定义2.8】矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩. 记为 R(A). 如果A是零矩阵, 规定R(A) = 0. 例如 注： 1）R(A)=0的充要条件是A=O；若A≠O，则R(A) 0; 2）若R(A) = r ，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶数大于r的子式全为零. 三、矩阵的秩及其求法 在 m×n 矩阵A中任取 k 行 k 列 (k≤m, k≤n), 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵A的k阶子式. 【定义2.8】矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩.记为 R(A). 如果A是零矩阵, 规定R(A)=0. 三、矩阵的秩及其求法 所有三阶子式均为零, 所有二、三阶子式为零， 所以R(B)=2 . 1. 一般的矩阵按定义求其秩，计算量相当大。 2. 行阶梯形矩阵按定义求其秩,非常方便,其秩为非零行的行数. A中又有非零元素，故R(A)=1. 二阶子式