线性代数 张培龙 2013代数几何ch4.ppt

第四章 欧式空间 一、向量的内积 一、向量的内积 一、向量的内积 一、向量的内积 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 二、标准正交基 三、正交矩阵 三、正交矩阵 * * 1、向量内积的概念 为向量?与? 的内积，或数量积. 定义了内积的n维向量空间Rn称为欧氏空间. 注 1、以后仍用Rn表示这个欧氏空间. 2、由矩阵乘法的定义，显然有? , ? = ?T?. 【定义4.2 】 记作 ? , ? 或? ·?. 1、向量内积的概念 内积的运算律（其中?，?，? ?Rn，k，l ?R）： (1) ?, ? = ?, ? ； (2) k?, ? = k ?, ? ； (3) ? +?, ? = ?, ? + ?, ? ； (4) ?, ? ≥ ?，且 ?, ? = 0 ? ? = ?； (5) 施瓦茨不等式 ?, ? 2 ≤ ?, ? ? , ? . 2、向量的长度 向量长度的性质 1.非负性 ‖?‖≥0，且‖?‖=0 ? ? = ?； 3. 三角不等式 ‖? +?‖≤‖?‖+‖?‖. 2.?齐次性 ‖λ?‖=|λ|‖?‖； 称 ||?|| 为向量? 的长度 (或模、范数). 【定义4.3】 长度为1的向量为单位向量. 单位化 3、向量的夹角 【定义4.4 】当? ≠ ?，? ≠ ?时， 称为n维向量?与?的夹角，记为(?, ? ). 说明 当?, ? =0时，称向量?与?正交，记为?⊥?. 显然，零向量与任意向量正交. ∧ 1、正交的概念 2、正交向量组的概念 若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向 量组．由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 【定理4.2】正交向量组是线性无关的. 用?i（i =1, 2, …, m）对上式的两边做内积， ?1, ?2, …, ?m两两正交, 所以ki?i，?i= 0,（i =1, 2, …, m） 因?i ≠ ?，所以?i，?i≠0， 证 设?1, ?2, …, ?m是正交向量组， k1?1 + k2?2 + … + km?m= ?. 有一组数使 得 k1?1, ?i + k2?2, ?i + … + km?m, ?i= ? 于是向量组?1，?2，…，?m线性无关. 故ki = 0（i=1, 2, …, m）. 1、正交的概念 2、正交向量组的概念 若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向 量组．由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 3、标准正交基的概念 设?1, ?2, …, ?m是欧式空间V的一组基，且两两正交， 则称?1, ?2, …, ?m是V的一组正交基； 单位向量，则称?1，?2，…，?m是V的一个标准正交基. 如果?1, ?2, …, ?m都是 3、标准正交基的概念 设?1, ?2, …, ?m是欧式空间V的一组基，且两两正交， 则称?1, ?2, …, ?m是V的一组正交基； 单位向量，则称?1，?2，…，?m是V的一个标准正交基. 如果?1, ?2, …, ?m都是 说明 （1）自然基e1，e2，…，en是标准正交基. （2）欧式空间V的任意向量? ，在V中的一个标准正交基 ?1，?2，…，?m下的坐标(k1, k2, …, km) 一个向量在标准正交基下的坐标易得，其第i个分量 即为这个向量与标准正交基的第i个向量的内积. ki = ?i，?，i =1, 2, …, m. 4、标准正交向量组的求法 施密特(Schmidt)正交化方法 令 ?1=?1， … ， (2) 将?1，?2，…，?r单位化，令 则?1, ?2, …, ?r 是与?1, ?2, …, ?r等价的标准正交向量组. (1) 将线性无关的向量组?1，?2，…，?r 正交化. 4、标准正交向量组的求法 施密特(Schmidt)正交化方法 例2. 解 1)正交化 4、标准正交向量组的求法 施密特(Schmidt)正交化方法 解 1)正交化, 2)单位化， 例2. 4、标准正交向量组的求法 施密特(Schmidt)正交化方法 解 4、标准正交向量组的求法 施密特(Schmidt)正交化方法 解 1)按施密特正交化方法计算,可适当乘不为0的系数, 使其分量 化为整数, 使后面的计算简化. 2) 标准正交化的步骤:先正交化, 后单位化, 顺序不能颠倒. 注 我们知道有限个n维向量组可构成一个矩阵，那么R n中的一 个标准正交基所构成的矩阵有什么特点呢？ AT A=E 【定义4.8 】如果n阶实方阵A满足A