[2017年整理]华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(11学分)解答.doc

华东理工大学2013–2014学年第二学期 《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题序 一 二 三 四 五 六 总分 得分 阅卷人 注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题 一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）： 1、微分方程的通解为 。 答： 2、微分方程的通解为 。 答： 3、函数 对变量的偏导数 。 答： 4、设 ，其中关于所有变量有一阶连续偏导数， 则 。 答： 5、设函数由方程 所确定，其中关于所有变量有一阶连续偏导数，则?= 。 答： 6、设，则 。 答： 1 7、函数在点处最大的方向导数等于 。 答： 8、微分方程 的通解 。 答： 9、设平面过直线则原点到平面距离的范围是 。 答： 10、设由方程所确定，则 。 答： 11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得和都是它的特解，则该常系数线性齐次微分方程为 。 答： 二．选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）： 1、若连续函数满足，则 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 答：(B) 2、设有直线与，则与的夹角为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 答：（C） 3、设线性无关的函数 都是方程 的特解，则下列函数中哪一个一定是方程 的特解 （ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 答：（A） 4、下列哪个函数的在原点处的二重极限为？ ( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 答： (D) 5、函数在点处 （ ） （A）和都存在； （B）和都不存在； （C）存在，但不存在； （D）不存在，但存在。 答：（B） 三、（本题10分）求微分方程的通解。 解：（1）先求的通解 事实上，其特征方程为， 故齐次方程的通解为 。 （2）再求原方程的一个特解 可令，则 代入原方程可得 得到，所以一个特解为 （3）最后求原方程的通解 由方程的解结构定理知原方程的通解为 。 四、（本题10分）设曲线位于平面的第一象限内，上任意一点处的切线与轴相交，交点记为。已知，且过点，求的方程。 解：设的坐标为，则切线的方程为， 令，得到点坐标为。 由于，则， 即或者 这是一个伯努利方程，换元，得到 因此，有，由于曲线位于平面的第一象限内， 故，又过点，得到， 所以所求曲线为（或者）。 五、（本题8分）设有两条直线与，求过点且与、都相交的直线方程。 解：我们求直线的一般式方程，该直线由与决定的平面与与决定的平面相交得到。 设过的平面束为，将代入得到，因此由与决定的平面方程为。 设过的平面束为，将代入得到，因此由与决定的平面方程为。 因此，所求直线方程为。 注：所求直线的点向式方程为：。 六、（本题8分） 设函数，（1）求；（2）讨论在处的可微性。 解：（1） ， 类似地，。 （2）根据可微的定义，在处的可微，当且仅当以下二重极限极限成立： 。 而 考虑到，， 由夹逼定理知， 因此在处的可微。 4