-10-2《高等数学》期中考试试卷标准答案.doc

河南理工大学2009-2010学年第二学期期中考试 《高等数学》试卷（A卷）标准答案 一、 单项选择题（共24分，每小题4分） （1） D ；（2）D ；（3）C ；（4）A ；（5） B （6） C 。 二、填空题（共24分，每小题4分） （1）； （2）； （3） ； （4）或； （5） ；（6） 。 三、计算下列各题（共46分） 1、（本题6分）设一平面经过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。 解： 设所求平面为。由于平面过原点，所以该平面可以设为 。 ① 平面过点，所以 ， 即 。 ② 平面又与平面垂直，而其法向量为，于是 ， 即 ③ 由②、 ③两式可得： ， 将上式代入①式，得平面为 化简的平面的方程为 。 2. （本题6分）设，求,。 解 将方程变形为 ， ① ①式两边对求偏导数，得 ， 从而 。 ② ①式两边对求偏导数，得 ， 从而 。 ③ ②式两边对求偏导数，结合③式，可得 3. （本题6分）求在条件下的最值。 解法一 令， ① ①式两边对，，求偏导数，得联立的方程组 求解可得： 故在条件下的最大值为 解法二 函数在条件下，当时有最大值为。 4. （本题7分）计算，其中由圆周及轴所围成的右半闭区域。 解：由题意得， 故 。 5、（本题7分）设，求全微分。 解 方程 ① 两边求微分，得 化简整理，有 于是 。 6、（本题7分）计算由曲面,及所围成立体的体积。 解 由及得 即 ， 于是曲面及所围成立体在面上的投影为 。 在极坐标系中，闭区域可以表示为 ， 于是根据二重积分的几何意义与极坐标变换，所求体积为 7、（本题7分）设有一质量为的质点作直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为）的阻力作用。求质点运动的速度与时间的函数关系。 解：设质点运动的速度为与时间的函数关系，则 于是，， 又由，得，故 四、证明题（本题6分） 1.设，证明：。 证明： 由于， ， 故 。 1