函数连续性习题讲解.pdf

西南财经大学《经济类数学分析》第四章（函数的连续性）习题选解 第四章（函数的连续性）习题选解 §1 连续性概念 （P73 ） 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： 1 （1） f (x) ； x 1 证：法 1 f (x) 的定义域为D (,0) (0, ) ，当x , x 0 D 时，有 x 1 1 x x 0  由三角不等式可得：x  x 0  x x 0 ， x x x x 0 0 1 1 x x 0 故当 x x 0  x 0 时，有   2 x x 0 x 0  x x 0 x 0 2 x 对任意给的正数 ，取 0 0, 则  x 0 ，当 x D 且 x x 0  时， 1   x 0 1 1 有 f (x) f (x 0 )   x x 0 可见 f (x) 在x 0 连续，由x 0 的任意性知：f (x) 在其定义域内连续. 法 2 f 的定义域为D (,0) (0, ) ，对其定义域上任一点x0 0 ， 1 1 lim f (x ) lim f (x 0 ) 有x x0 x x0 x x 0 f x 0 x 0 f ，故 在 连续，由 的任意性知， 在其定 义域内连续. 2 ．指出下列函数的间断点及类型： （3 ）f (x) [ cos x ] ； 0 x n  f (x) [| cos x |]  解：因为 1 x n ， f x n (n 0, 1, 2, ) 所以 在 间断. 由于lim[ cos x ] 0 ，从而x n (n 0,1,2, ) 是f 的可去间断点. x n （5 ）f (x ) sgn(cos x ) 解 因为 第 1 页