§1.4 函数的连续性.ppt

一、 函数的连续性 二、 函数的间断点 三、 初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 一、 函数的连续性 二、函数的间断点 三、 初等函数的连续性 2、零点存在定理与介值定理 * 第一章 函数、极限和连续 §1.4 函数的连续性 定义 设函数 y = f (x0) 在 x0的某一邻域内有定义， 如果 则称函数 在 处连续。 函数y = f(x)在x0处点连续 设函数 在 的某一邻域内有定义，如果 则称函数y = f(x)在x0处点连续 例1 证 由定义 知 定理 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例2 解 右连续但不左连续 , 例3 证明 在 处连续， 证明： 可去间断点 例4 解 是 间断点 可去 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 则函数 y = g(x)在 x =1处连续 跳跃间断点 例5 解 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 是 间断点 跳跃 第二类间断点 例6 解 是 间断点 第二类 该间断点也称为无穷间断点 例7 解 间断点： 1、函数 在 连续，求k 2、函数 在 连续，求k 练习： 3、求函数 的间断点 （1）解： （2）解： （3）解： 是可去间断点 是无穷间断点 定理1 例如, 1、四则运算的连续性 2、复合函数的连续性 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 定理2 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 函数 在 点连续，则有 注意　定理3是定理2的特殊情况. 定理3 设函数 由函数 与函数 复合而成。若 在点 连续，且 ，而函 数 在点 连续，则复合函数 在点 也连续. 3、初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 注意　 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 例9 例10 解 解 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 例11 求 解：原式 例12 求 解：原式 1、(最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在 该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值. 四、闭区间上连续函数的性质 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. * * 定理2(零点定理) 设函数在闭区间 上连续，且与异号(即),那么在开区间内至少有一点，使. 定理3(介值定理) 设函数在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 , 那么，对于与之间的任意一个数 ，在开区间内至少有一点 ，使得 .